Exponentielle de matrices

par **tize** » 04 Sep 2006, 16:53

Bonjour à tous,
j'ai trouvé cette question sur un autre forum :

pourquoi l'exponentielle est injectif sur l'ensemble des matrices symétriques?

sans rien d'autre...
Je me suis penché sur le problème et j'ai remarqué que si les matrices symétriques sont définies comme suit :

et

alors

Pensez vous qu'il y a une erreur dans ce que j'ai écrit ?
Pensez vous que le problème est mal posé (peut être est-ce seulement vrai sur les matrices symétriques de

) ?

Merci

par **Flodelarab** » 04 Sep 2006, 17:00

Je pense que c faux. Car ta matrice n'est pas a coeficients réels.
La notation complexe et la fonction exponentielle sont 2 chose différentes.

non ?

par **tize** » 04 Sep 2006, 17:11

Flodelarab a écrit:Je pense que c faux.

Qu'est ce qui est faux ?

Flodelarab a écrit:La notation complexe et la fonction exponentielle sont 2 chose différentes.

Oui mais que veux tu dire par là ?

Flodelarab a écrit:non ?

J'ai posé la question avant...

par **Flodelarab** » 04 Sep 2006, 17:21

pour moi, tu fais la meme erreurs que quand on dit:

maintenant, j'ai du mal a t'en dire plus
Notation complexe e^(ix) n'est pas pareil que e^(x) la fonction

par **tize** » 04 Sep 2006, 17:33

Ba... en fait je ne vois pas du tout le rapport entre mon premier post et ce que tu écris là (je vais y réfléchir...) mais tant qu'on y est, peux tu me dire comment on définit la "racine

" d'un nombre ? stp

par **Flodelarab** » 04 Sep 2006, 17:37

c toute la question

par **tize** » 04 Sep 2006, 18:24

D'accord ... :hein: et quel est le rapport avec mon premier post ?

par **xon** » 04 Sep 2006, 18:41

je crois que ton problème vient de la définition des matrices symetriques.
Sur R pas de problème, par contre sur C une matrice est hermitienne si A*=A ce qui t'implique que tes termes diagonaux sont réels, ce qui n'est pas vrai dans ton cas.

La propriété exacte est que l'exponentielle est injective de Hn->Hn++

par **tize** » 04 Sep 2006, 18:50

Je croyais qu'une matrice symétrique était une matrice égale à sa transposée ...
Pour moi hermitienne voulait dire autre chose...
et dans l'énoncé que j'ai vu il est bien écrit "matrice symétrique" et non pas "matrice hermitienne"

par **xon** » 04 Sep 2006, 18:51

alors c'est que t'étais dans le cas réel.

par **tize** » 04 Sep 2006, 18:53

ok d'accord :we:
donc l'énoncé exact serait :
"l'exponentielle est injective sur l'ensemble des matrices réelles"

Merci

par **xon** » 04 Sep 2006, 18:57

oui, disons que l'énoncé le plus général serait "l'exponentielle est injective de Hn->Hn++" et donc en particulier "l'exponentielle est injective de Sn->Sn++"

Ou Hn est l'ensemble des matrices hermitiennes(sous entendu on regarde dans C) et Sn celui des matrices symétriques(on regarde dans R)

par **jose_latino** » 04 Sep 2006, 23:23

Si

, où

et

son symétriques, c'est facil de voir que

pour chaque

. Pour montrer que

il faut remarquer que comme les matrices sont symétriques, ils ont valeurs propres réels, et alors leur exponentielles sont définit positives (et symétriques aussi), alors il existe une unique n-racine définite positive, mais comme

sont définites positives

alors

. On peut concluire que

, pour tout

et alors,

, pour tout

, en dérivant l'équation

, pour tout

, pour

, on a le résultat cherché.

par **jose_latino** » 04 Sep 2006, 23:40

tize a écrit:ok d'accord :we:
donc l'énoncé exact serait :
"l'exponentielle est injective sur l'ensemble des matrices réelles"

Merci

C'est pas vrai ça, la condition de symétrie est nécessaire:

et

ont la même exponentielle, mais ils ne sont pas égales

par **tize** » 04 Sep 2006, 23:44

oui bien sur tu as raison, j'ai oublié d'écrire "symétrique" :++:

par **nekros** » 04 Sep 2006, 23:51

Bonsoir,

Comment calcule-t-on l'exponentiel d'une matrice ?
Pour une matrice diagonale, on prend l'exponentiel de chaque terme, je crois.

Mais pour une matrice quelconque ?
Ca a un rapport avec

?

Merci

par **tize** » 05 Sep 2006, 00:05

Ba de la même manière
sauf que l'on fait des produits matricielles

par **nekros** » 05 Sep 2006, 00:07

Il suffit de prendre l'exponentiel dee chaque terme ? :doh:

Ca sert à quoi alors ??

par **tize** » 05 Sep 2006, 00:11

NON !
si A est une matrice alors

avec

(k-1 fois le produit matricielle)
Avec pour convention

par **nekros** » 05 Sep 2006, 00:28

Merci tize,

Ok c'est pour ça j'avais dans un exo le cas suivant :
On avait une matrice M tel que M=M²=M^3=...=M^n
Donc exp(M)=I+(1-e)M
Je ne comprenais pas d'où venais le 1-e

Donc exp(A) est la limite d'une suite de polynômes en A, c'est ça ?

Merci

A+

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