Exercices suites

[Raven]

Bonjour j'ai effectué quelques exercices mais je ne sais pas si c'est bon ..
Soit (un)n la suite denie par u0 = 0 et pour tout n , un+1 =((un²)+1)/2
2 .
1. Montrer que pour tout n appartenant à N, un strictement inférieur ou égal à 1.
2. Montrer que pour tout n appartenant à N, un+1 - un = ((un-1))²/2
. En deduire que (un)n appartenant à N converge.
3. On note l la limite de (un)n appartenant à N. Determiner l.

donc pour la 1) j'ai voulu faire une récurrence , j'ai vérifié au rang 0 et ça fonctionnait , pour l'hérédité , j'ai supposé que c'était vrai au rang n j'avais donc comme hypothèse de récurrence un strictement supérieur ou égal à 1
mais pour le rang n+1 je ne trouves pas , j’arrive à (un)²/2 strictement inférieur ou égal à (un²+1)/2

pour la 2) , j'ai trouvé donc comme un est croissante et majorée par 1 , elle converge
3) j'ai trouvé l =1

exercice 2)

Calculer les limites suivantes :
quand n tend vers +infini de :
1)n(Vn²+2) - n
j'arrive à n ( 2/(Vn²+n) + n ) , ça fait une forme indéterminée vu que ca fait +infini * 0
j'ai factorisé & j'ai trouvé lim=1

2) ((sin(n))^n /Vn
j'ai trouvé 0 avec le théorème des gendarmes

3)1/4 +1/8+1/16+..1/2^n

j'ai trouvé lim = 2 ?

voilà merci de vos réponses

[Carpate]

1)

donc
La suite est OK

2) S'il s'agit bien de , il n'y a pas de forme indéterminée et

: est majoré par et le dénominateur tend vers + donc

3) c'est correct

[Raven]

ok merci beaucoup pour votre réponse , pour le 2 , c'est bien ce que vous avez marqué mais il y a une parenthése avant n² et aprés n , ça fait bien la même chose ?
ça fonctionne si je fais n((n²+2-n²)/((Vn²+2)+n)) =n(2/(n((V1+2/n²)+1)= n(2/2)=n tend vers +infini ?

[Carpate]

ok merci beaucoup pour votre réponse , pour le 2 , c'est bien ce que vous avez marqué mais il y a une parenthése avant n² et aprés n , ça fait bien la même chose ?
ça fonctionne si je fais n((n²+2-n²)/((Vn²+2)+n)) =n(2/(n((V1+2/n²)+1)= n(2/2)=n tend vers +infini ?

Si tu multiplies par la quantité conjuguée ça donne ça :
mais ça n'apporte rien.

Quand , , et

[Raven]

ah d'accord c'est juste ça , ok j'ai compris merci beaucoup :)