Exercice système dynamique

[milaaaa]

Bonjour,

Je cherche à montrer deux choses :

1) Si v une fonction C1 de Rn, et pour tout x appartenant à Rn, on a <v(x), x> <= 0
On doit montrer que pour tout xo de Rn, le problème de cauchy x'(t) = v(x(t)) et x(0) = xo admet une solution globale sur R+

2) Si v une fonction C1 de Rn, et pour tout x appartenant à Rn, on a ||x|| = 1 => <v(x), x> < 0
On doit montrer que pour tout xo appartenant à la boule unité fermé B(0,1), le problème de cauchy défini à la question 1 reste dans la boule pour t supérieur à 0

Est-ce que quelqu'un pourrait m'éclairer la dessus svp ? Je ne sais pas du tout par quoi commencer...

[tulipe]

Je n'y connais pas grand chose ça me rappelle juste de vagues et vieux souvenirs, mais comme il n'y a pas de réponse c'est toujours mieux que rien.

Pour le 1) ca me rappelle le théorème de Cauchy Lipschtiz avec v qui est C1 donc localement lipschitzienne seulement je ne vois pas à quoi sert la condition sur <v(x),x>.

Pour le 2) la condition <v(x),x> <0 qui correspond en fait à <x',x><0 permet de dire que sur le disque unité il y a un champ de vecteur rentrant et donc que dès la solution touche ce disque elle rentrera dans la boule et qu'elle ne pourra plus en sortir
(car pour cela il faudrait qu'elle retouche le disque, et si tel était le cas le champs de vecteur la renverrait alors dans la boule)

Voilà ce que cela m'évoque, si jamais ça peut aider un peu.

[Ben314]

Salut,
Le fait que le système en question admette une solution maximale provient effectivement du théorème de Cauchy-Lipschtiz et l'inégalité concernant le produit scalaire ne sert qu'ensuite pour montrer que cette solution maximale est forcément définie sur un intervalle ouvert contenant R_+.
Et cette inégalité, si tu la regarde bien, elle dit en fait que la dérivée de la fonction phi : R->R ; t -> ||x(t)||^2 (où t->x(t) est une solution du problème de Cauchy) est négative, donc que la fonction en question est décroissante.
Et c'est grâce à ça que tu va pouvoir montrer que la solution maximale est définie sur R_+ tout entier (à priori en raisonnant par l'absurde et en supposant qu'elle n'est définie que sur un intervalle ]..,to[ avec to réel >0)

Et pour la question 2), c'est la même "astuce", à savoir qu'il faut voir que ton hypothèse dit que, pour tout réel t tel que ||x(t)||=1, on a phi'(t)<0 et il faut en déduire que la courbe t->x(t) ne peut pas sortir de la boule unité (de nouveau, par l'absurde, c'est assez immédiat).