Exercice sur le nombre d'or

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

Je suis bloqué sur un exo que je n'ai réussi qu'à moitié. Je n'arrive pas à faire la première moitié.

Soit le nombre d'or qui vérifie donc :

est un irrationnel compris entre 1 et 2




On pose pour tout entier :

(1) (où désigne la partie entière)


On a alors la suite qui est strictement croissante et :

(2)


On pose et

A et B sont deux parties non vides de

Soit . On suppose que cet entier n'est ni dans A et ni dans B

Je dois montrer l'existence de deux entiers naturels p et q non nuls tels que :






Pour déterminer p, je pensais dire que vu que m n'est la partie entière d'aucun (avec n un entier naturel non nul), m et m+1 ne peuvent pas encadrer . Mais ça me semble déjà pas très rigoureux, et surtout ça semble aller nulle part.

Si quelqu'un peut me donner une petite indication svp, je le remercie d'avance.

[Ben314]

Comme a_1=1, que la suite a_n est strictement croissante, qu'elle tend vers l'infini et que m ne fait pas partie de A, il existe un indice p tel que a_(p-1)Sauf que, vu que ce sont 3 entiers, cela signifie que a_(p-1) <= m-1 et que m+1 <= a_p
or a_p = E(p.phi) <= p.phi et il ne peut pas y avoir égalité vu que phi est irrationnel.
donc...
(presque) idem pour a_(p-1) par rapport à (p-1).phi

[jonses]

[quote="Ben314"]Comme a_1=1, que la suite a_n est strictement croissante, qu'elle tend vers l'infini et que m ne fait pas partie de A,[B] il existe un indice p tel que a_(p-1)m[/tex]

L'ensemble n'est donc pas vide(N est dans E), il admet alors un plus petit élément p, et on a alors

[arnaud32]

Désolé, mais c'est ça que j'ai du mal à saisir (l'encadrement)
Je pense qu'en fait j'ai saisi

Vu que la suite tend vers l'infini on dispose d'un rang N tel que pour tout

L'ensemble n'est donc pas vide(N est dans E), il admet alors un plus petit élément p, et on a alors

comme m n'est pas dans A donc ...

[Ben314]

Si tu repasse dans le coin, ça m’intéresserait grandement que tu mette la suite de l'exercice (pas forcément dans le détail, mais les idées)
Je suppute qu'on va te faire montrer que A et B forment une partition de N*, mais j'aimerais voir comment on va te faire procéder...


P.S. D'un autre coté, si tu repasse pas, je met ça dans "énigmes"...

[jonses]

comme m n'est pas dans A donc ...

J'ai fait la suite, c'est juste que ce que j'ai écrit était pour dire que j'ai bien compris comment Ben134 en ai arrivé à son résultat

[jonses]

Si tu repasse dans le coin, ça m’intéresserait grandement que tu mette la suite de l'exercice (pas forcément dans le détail, mais les idées)
Je suppute qu'on va te faire montrer que A et B forment une partition de N*, mais j'aimerais voir comment on va te faire procéder...

C'est bien ça !

En fait dans cet exercice pour montrer que A et B forment une partition de N* :
on commence d'abord par se donner un m dans N* et on suppose que m appartient à A et à B : d'où on en tire une contradiction (donc A inter B est vide)

Puis on fait ce que j'ai posté : d'où on en tire encore une contradiction (donc tout élément de N* est dans A union B)

Ensuite il y a d'autres questions relatives à la suite et

[Ben314]

O.K., merçi bien.

En fait il y a un "plus cultureux" que moi (Imod pour ne pas le nommer) qui a immédiatement vu que c'était une application directe (et classique) du Théorème de Beaty

[jonses]

En fait il y a un "plus cultureux" que moi (Imod pour ne pas le nommer) qui a immédiatement vu que c'était une application directe (et classique) du Théorème de Beaty

J'ai un peu honte de dire ça mais je ne connaissais pas du tout ce théorème

Bon maintenant c'est fait^^

[Ben314]

... moi non plus...