Exercice de réduction

[Louise2607]

Bonjour, je bloque sur un exo de réduction :
soit un f endomorphisme diagonalisable sur un espace vectoriel E de dimension n :
montrer que : ( x,f(x),f²(x),....f^(n-1)(x)) engendre E equivaut à : les valeurs propres de f sont 2 a 2 distinctes.
J'ai réfléchi un peu à l'exercice et pense qu'il faudrais travailler par équivalence et dans l'idéal arriver à un déterminant de Vandermonde dans lequel on fait intervenir toutes les valeurs propres et conclure quant au faite ques celles ci sont distinctes.
Voila mais je n'arrive pas à cela ...
Merci d'avance

[R.C.]

Bonjour,
J'ai une solution, mais elle utilise peut-être des trucs un peu trop gros. On va voir.
Je commence par un tout petit indice pour gauche => droite : écrire la matrice de f dans une base adéquate et sympathique.
Pour droite=>gauche : je pense qu'on doit pouvoir bien choisir le x, ou bien utiliser un gros théorème.
Pour ce qui est du Vandermonde, je ne sais pas trop.

[Louise2607]

Alors oui mais ecrire la matrice de f dans la base des f^i , nous amène à une matrice de Froebenius qui ne avance pas à grand chose puisque on aura une colonne de coéfficient inconnus...Cependant quasiment sur qu'il faut utiliser un déterminant de vandermonde...
Merci

[R.C.]

Est-ce que tu connais les invariant de similitude et le théorème de Frobenius? (c'est ca en fait mon gros théorème).

[Louise2607]

Non dsl...

[ThSQ]

montrer que : ( x,f(x),f²(x),....f^(n-1)(x)) engendre E equivaut à : les valeurs propres de f sont 2 a 2 distinctes.

J'imagine que c'est : "si il existe x tq ....."

Sans sortir l'artillerie lourde :


quel est le D° du polynôme minimal ?

[yos]

Pour gauche entraîne droite, tu regardes le rang de la matrice A-kId où A est ta matrice compagnon (ou Frobenius?) et k est une valeur propre. Il est facile de barrer une certaine ligne et une certaine colonne, laissant une inversible.

[R.C.]

Ok, bon en fait tu as raison, avec Vandermonde ça marche et c'est moins bourrin. Par contre ce que je ferais c'est : je prend d'abord une base de diago de f (e1,..,en) puis
pour tout x, (x,f(x),...,f^(n-1)(x)) pas une base il existe une relation de linéarité entre les f^(i) (j'écris tout ca dans (e1,..,en)) il existe une relation entre () (la meme pour tous les k) et tu retombes sur ton Vandermonde.