Exercice racine fonction

[ice456]

Bonjour,
je n'arrive pas à démarrer sur cette exercice :

cherchez les racines de la fonction (x,y) y - sur le cercle unité de .

Il faut donc rechercher les couples (x,y) tel que y - = 0.
Et l'equation d'un cercle est x²+y²=1 mais je ne sais pas si ça peut aider...

En regardant ainsi je vois une solution "trivial" qui est (0,1) mais bon je pense qu'un arguement pareil ne suffira pas :we:
Comment voir si il y a d'autres racines?

MErci pour votre aide

[emdro]

Bonjour,

tu n'as qu'à parcourir le cercle entier:
*soit en deux fois en posant d'abord puis ensuite , et en étudiant la fonction ainsi obtenue psur [-1;1]
*soit directement en posant x=cos(t) et y=sin(t) et en étudiant pour t dans [-Pi,Pi] par exemple.

[ice456]

Ok merci beaucoup pour ton aide...

Je voudrais être sur de bien comprendre l'énoncé :

quand on demande les racines de la fonction sur le cercle unité, graphiquement ça revient à trouver les points d'intersection entre la fonction et le cercle ou pas?

Je préfère voir clairment les choses avant de les aborder.

Autre question : en posant x=cos(t) et y=sin(t) et en étudiant pour t dans [-Pi,Pi] , on veut ainsi "balayer" la focntion avec tout les poitns du cercle c'est bien ça?

MErci pour l'aide :happy2:

[Joker62]

On veut juste voir si la fonction s'annule sur le cercle

C'est à dire si il existe x et y tel que x² + y² = 1 et que y = e^-x

[emdro]

quand on demande les racines de la fonction sur le cercle unité, graphiquement ça revient à trouver les points d'intersection entre la fonction et le cercle ou pas?

Pas du tout: ta fonction est une fonction de deux variables x et y. Pour tout point de plan (donc pour tout couple (x,y)), on associe un réel. en particulier, pour tout point du cercle trigo, on peut calculer l'image par ta fonction.
Ce qu'on veut faire, c'est voir si et quand, cette image donne 0 en se baladant sur le cercle.

Autre question : en posant x=cos(t) et y=sin(t) et en étudiant pour t dans [-Pi,Pi] , on veut ainsi "balayer" la focntion avec tout les poitns du cercle c'est bien ça?

C'est tout à fait cela! :happy2:

[emdro]

Au passage, c'est quoi l'intersection d'une fonction et d'un cercle? Un chou-fleur?

[ice456]

Ok merci pour vos explications j'ai compris l'énoncé c'est déjà ça...
On veut trouver les (x,y) annulant la fonction en regardant les points du cercle donc appartenant au cerlce unité.

Je comprend mieux maintenant les méthodes de résolution que tu m'as proposé.

Je vais essayé de résoudre en posant x = cos(t) et y = sin(t) et reposterai si je ne m'en sort pas ou pour proposé une réponse...

Encore merci

[emdro]

On peut aussi transformer le problème en la recherche des solutions de:
y=exp(-x) et x²+y²=1.

Là, c'est plus simple, il suffit de trouver l'intersection de la courbe représentative de la fonction g:x->exp(-x) et du cercle trigonométrique.

C'est possible ici, car il était facile d'isoler le y dans ta fonction de départ.
Il y a deux solutions.

[ice456]

Re-bonjour,

je n'arrive pas bien à être structurer pour l'étude de la fonction...

On veux donc, en posant x = cos(t) et y = sin(t)
en prenant t [0,2]

Je vois bien qu'en prenant Pi/2 on obtient 1-1= 0 donc ok on a au moins une racine le couple (0,1)...

Mais je n'arrive pas à être méthodique :hum:
Je me vois mal tester tous les points.

Merci pour l'aide apporté

[Joker62]

C'est pour ça que pour finir, emdro t'as dit qu'il était plus abordable et plus logique d'ailleurs de trouver les points d'intersection de f : x -> exp(-x) avec le cercle unité.

[ice456]

Oui je viens de voir son post seulement maintenant...
Je vais me pencher là dessus et reposter au besoin

Merci

[emdro]

Relis mon post précédent, je crois t'avoir mis sur une voie difficile, alors qu'il y avait plus simple. Désolé. :--:

Sinon, pour en finir avec la méthode compliquée, il ne s'agit pas de tout tester, mais avec le sens de variation de la fonction, de s'assurer du nombre de solutions de l'équation f(x)=0 (théorème de la bijection).

[ice456]

si je comprend bien il faut donc résoudre le système :

c'est bien ça?

En remplacant y on a donc et là je tourne en rond... je désespère J'essaye avec des ln et tout ça mais je bloque j'ai l'impression de tout confondre

Vous n'auriez pas des pistes pour que je puisse avancé?

merci d'avance

[ice456]

si je comprend bien il faut donc résoudre le système :

c'est bien ça?

En remplacant y on a donc et là je tourne en rond... je désespère J'essaye avec des ln et tout ça mais je bloque j'ai l'impression de tout confondre

Vous n'auriez pas des pistes pour que je puisse avancé?

merci d'avance

[ice456]

si je comprend bien il faut donc résoudre le système :

c'est bien ça?

En remplacant y on a donc et là je tourne en rond... je désespère J'essaye avec des ln et tout ça mais je bloque j'ai l'impression de tout confondre

Vous n'auriez pas des pistes pour que je puisse avancé?

merci d'avance

[ice456]

Quelq'un pourrait-il m'aider à avancer?

[busard_des_roseaux]

il faut donc résoudre le système :



nécéssairement y>0.
mézalors:

il s'agit alors de compter les racines de la fonction

sur l'intervalle

[ice456]

Ok merci pour l'explication

Et pour "compter" les racines il y a un procédé bien particullier?

[busard_des_roseaux]

oui,
la courbe de
est le demi-cercle supérieur
la courbe de
est connue.
visuellement, il y a deux racines .

Voiçi une démo:





f '' est clairement strictement négative sur [-1;1]
f ' est strictement décroissante sur [-1;1] de à
f ' s'annule donc pour un certain ouvert.
car
f est donc strictement croissante sur
et strictement décroissante sur
comme f(0) = 0 , f(-1) \alpha[/TEX].

[ice456]

Merci pour ton explication...

Je comprends très bien la partie "visuelle", quand je fait le shema on voit bien qu'il y a deux racines : une en zéro et une autre comprise entre 0 et 1...

J'ai un peu plus de mal pour comprendre la démo.
Pour la valeur de la 2eme racine on ne peut pas la trouvé explicitement et lui donner une valeur?