Exercice de probabilité : Un jeu d'argent

[SpeedyCheikh]

Bonjour,
Voilà j'ai un exercice de probabilité de 3 parties à faire.
Il s'agit d'un jeu d'argent. Donc voici l'énoncé :
Un nouveau jeu en ligne affiche à l'écran une grille de 9 (3 lignes[1,2,3], 3 colonnes [A,B,C]). Le joueur verse une mise initiale de 2€ puis une fonction pseudo-aléatoire place successivement trois jetons au hasard dans 3 case différentes de la grille. Le joueur gagne si les jetons sont alignés (horizontalement, verticalement ou en diagonale). Et il empoche alors 10 fois sa mise (et donc 18 euros, mise initiale déduite). Sinon, la mise initiale est évidemment perdue. On pose les 4 événements suivants :
H : "les trois jetons sont alignés horizontalement."
V : "les trois jetons sont alignés verticalement."
D : "les trois jetons sont alignés en diagonale."
N : "les trois jetons ne sont pas alignés."


Donc j'ai fait les parties 1 et 2. Je trouve P(H) = P(V) = 1/28 ; P(D) = 1/42 et P(N) = 19/21. Donc la probabilité de gagner est de 2/21.

Par contre, dans la partie 3, on a un changement, le voici :
Partie III : dérèglement du jeu.
On constate que sporadiquement la fonction pseudo-aléatoire est déréglée. Dans ce cas, elle place le premier jeton dans la case (A,1), les deux autres étant placés au hasard dans les cases restantes. On note M l'événement "la fonction pseudo-aléatoire est déréglée" et on pose P(M) = x avec x dans ]0;1[.
Et là on a les questions suivants :
1) Calculer les probabilités conditionnelles P(H|M), P(V|M), P(D|M) des événements H, V et D sachant l'événement M.

2) Utiliser la formule des probabilités totales avec le système complet d'événements(M,M(barre)) pour en déduire que la probabilités pour que les jetons ne soient pas alignés est égale à : P(N) = -x/84 + 19/21

Et c'est là que je bloque, j'ai essayer de faire un arbre mais rien... Je sais seulement que M(barre) correspond à ce que l'on avait en partie I.
Si quelqu'un pouvait m'aider, svp, ce serait très gentil.

[Robot]

Si le premier jeton est en case A1, combien y a-t-il de possibilités pour placer les deux autres ?
Parmi celles-ci, combien pour lesquelles les 3 jetons sont alignés horizontalement(resp. verticalement, resp. en diagonale) ?

[SpeedyCheikh]

Merci d'avoir répondu si vite.

Alors en répondant à vos questions je trouve :
Si on a un jeton en A1, alors pour les deux autres jetons on a (2 parmi 8) = 28 positionnements possibles dans les 8 cases restantes. Parmi ces possibilités de positionnements, on en a 6 pour avoir des jetons alignés horizontalement, verticalement et en diagonale (2 cases pour chacun). Donc la probabilité de gagner est de 6/28 = 3/14. D'où l) P(N|M) = 11/14.
Est-ce juste ?
Cependant je n'arrive pas à montrer que si on est dans le cas de M, P(N) = -x/84 + 19/21. Si vous pourriez me donner des indices, svp ?

[Robot]

Non, ce n'est pas juste.
Si tu as un premier jeton en A1, alors l'alignement horizontal ne peut se fait que sur la première ligne et il n'y a donc qu'une seule position des autres jetons favorable.

[SpeedyCheikh]

Ah c'est bon j'ai trouvé !
Comme on a un jeton en A1, alors pour les deux autres jetons on a (2 parmi 8) = 28 positionnements possibles dans les 8 cases restantes. Donc comme on a seulement trois alignements possibles, on trouve que P(H|M) = P(V|M) = P(D|M) = 1/28.

Et ensuite en remarquant que l'univers O a une probabilité de 1 et P(O|M) = 1 aussi, on utilise la formule des probabilités totales pour avoir P(N) = -x/84 +19/21.

Encore un énorme merci à Robot.

[Robot]

Avec plaisir.