Exercice "Pot pourri polynômes"

[benekire2]

Si tu cherche à comprendre la preuve, le "passage sur la parité", il sert uniquement à s'assurer que des trucs du style (c+a)/2 et (c-a)/2 sont encore dans l'anneau sur lequel on travaille (c'est à dire Z).

Si R et P sont dans C[X], à quelle condition les polynômes (R+P)/2 et (R-P)/2 sont ils encore dans C[X] ?
Conclusion.

P.S. : la "parité" dans Z n'a absolument rien à voir avec le degrés dans C[x].
Etre pair, c'est etre divisible par 2 (dans Z) or, dans C[X], 2 est inversible donc...

D'accord, j'avais pas vu ça comme ça .. ben du coup ce passage on s'en fout au final, puisque dans C[X] ça fonctionne bien.
Bon, je cherche a finir tout ça .

[benekire2]

Bon, je reviens à la charge ...

Le problème c'est que maintenant , j'en fais quoi des (R+P)/2 et (R-P)/2 ? Pour le degré 2 ça donne un truc bien quand on les multiplie mais absolument pas pour les degrés supérieurs , y a-t-il quelque chose que j'ai loupé ? :hein:

Merci.

[Ben314]

Ben, visiblement, ce que tu as "loupé", c'est que, lorsque n>2, ça m'étonnerais un peu que la factorisation de R^n-P^n ce soit (R-P)(R+P)...

[benekire2]

Ben, visiblement, ce que tu as "loupé", c'est que, lorsque n>2, ça m'étonnerais un peu que la factorisation de R^n-P^n ce soit (R-P)(R+P)...

Ouais on peut toujours faire si jamais on veut une factorisation totale dans C[X] on peut aussi mais j'ai pas l'impression que ça me sert ( et celle là non plus je vois pas a quoi elle me sert :triste: )

[Ben314]

Bon, je te donne la "partie commune" :

Quitte à diviser par le pgcd des 3 on peut supposer que sont globalement premiers entre eux.
Sauf que, si un irréductible divise deux d'entre eux, il est obligé de diviser le troisième donc en fait, il sont 2 à 2 premiers entre eux.
On a où est une racine primitive -ième de l'unité. (ça, dans , ça ne marche évidement que si , sinon, il faut se placer dans qui, hélas, n'est pas toujour factoriel)
Sauf que les différents sont 2 à 2 premiers entre eux (car, si divisait et il diviserait et ) donc se sont tous des puissances -ièmes (à condition que l'anneau dans lequel on se place soit factoriel...) :
; ; ... (et )

Jusque là, a mon sens, on n'a fait que recopier le cas clasique où n=2. Sauf qu'ici, comme n>2 on a plus de deux relations et ça change la donne car avec seulement deux relations, c'est fini vu qu'il suffit d'écrire et en fonction de et pour avoir les solutions. Mais ici, il y a plus de relations...

Indication : Avec 3 relations, c'est suffisant pour montrer que "ça coince"...

[benekire2]

D'accord, c'est que j'avais pas du tout vu ça comme ça

Donc ici , je vais réutiliser les trois relations que tu m'as filé , on a avec les deux premières : et
Après manger je triturerais dans la troisième pour avoir une contradiction.

[benekire2]

Bon, de retour ... :cry:

J'ai cherché des contradictions avec la troisième identité , j'ai essayé de contredire le fait que B-wC et B-C étaient premier entre eux mais rien n'est venu. Je donne ma langue au chat :doh:

[Ben314]

De ; ;
tu déduit que où et sont des racines -ièmes de et (tout les deux non nuls)
On est donc retombé sur l'équation de départ, mais, si ne sont pas tout les trois constants il est façile de vérifier qu'alors sont ne sont pas tout les trois constants non plus mais que les degrés ont nettement diminués : absurde.

[benekire2]

D'accord !

Donc je n'étais pas du tout dans la bonne direction !! Et j'aurais surement pas trouver seul encore une fois, merci :lol3: