Exercice "Pot pourri polynômes"

par **Nightmare** » 20 Déc 2010, 21:03

Pour la 2 comment as-tu fait en une ligne? J'ai bien une idée qui tiendrait en 5-6 lignes mais je vois mal quel argument invoquer pour régler la chose en une ligne (Ou alors c'est une très longue ligne !)

par **benekire2** » 20 Déc 2010, 21:19

Nightmare a écrit:Pour la 2 comment as-tu fait en une ligne? J'ai bien une idée qui tiendrait en 5-6 lignes mais je vois mal quel argument invoquer pour régler la chose en une ligne (Ou alors c'est une très longue ligne !)

Je n'ai pas rédigé mais il me semble que par l'absurde si l'on suppose |x_k| |1-x_k| |1/(1-x_k)|>1/2 sauf que là ; j'ai bêtement plutiplié par deg(p) pour conclure :marteau: et donc ma preuve ne tient pas ... ça semblait trop beau ... tu fais comment ?

PS. Donc, concernant l'histoire de polynôme P(x)=x pour tout réel , ok, tu as raison .. :lol3:

par **Ben314** » 20 Déc 2010, 22:28

Fait attention aussi que rien ne te dit que les racines de P sont réelles.
Et les inégailitées avec des complexes...

Edit : de plus, c'est plutôt des 1/(1-xk) que des 1/(1+xk)...

par **benekire2** » 20 Déc 2010, 22:34

oui, je viens de corriger. Mais je ne parle pas d'inégalités sur des complexes, juste sur les modules.

Mais il semblerait qu'il y ait un gros problème quand même. Et je vois pas comment l'outrepasser pour l'instant ...

par **Ben314** » 20 Déc 2010, 22:52

Je vois pas comment tu va obtenir un lien avec l'inégalité de départ si tu met des modules !!!
Par contre, en regroupant 2 à 2 les termes correspondant à des racines conjuguées, ça se fait trés bien..

Sinon, j'ai le 3)a)
Hint : il existe un a tel que

...

Et, pour le 3)b), je vois pas trop pourquoi tu t'emmerde, vu qu'il est évident que

donc que...

Pour le 5) (un grand clasique aussi...) c'est la même preuve que pour les triplets Pytagoritiens dans N sauf qu'il faut factoriser R^n-Q^n dans C[X] (alors que pour a²+b²=c² dans N on factorise c²-b² dans N)

par **Nightmare** » 20 Déc 2010, 22:58

Comment j'ai procédé :

(n=deg(P))

puis

(car

est un réel )

Ensuite c'est du calcul :

dont la partie réelle est

et si les racines étaient toutes de module inférieur à 1,

serait positif. Contradiction.

par **Arkhnor** » 20 Déc 2010, 22:59

Bonsoir.

Ici, comme je l'ai dit le fait que P soit un polynôme on s'en fout royalement. Tu as une application P et tu as montré qu'elle envoie tout réel x sur lui même donc c'est par définition l'identité sur R point barre, pas besoin de parler de racines, d'entrée ou de je ne sais quoi.

Il y a quand même une différence entre un polynôme et une application polynomiale. Si P(x) = Q(x) pour tout x dans le corps des scalaires, alors les fonctions polynomiales associées sont égales, mais pas forcément les polynômes.
Il est vrai qu'ici la question ne se pose pas, puisqu'on est sur R, mais c'est l'argument de benekire2 qui le justifie.

par **Nightmare** » 20 Déc 2010, 23:02

Arkhnor a écrit:Bonsoir.
Il y a quand même une différence entre un polynôme et une application polynomiale. Si P(x) = Q(x) pour tout x dans le corps des scalaires, alors les fonctions polynomiales associées sont égales, mais pas forcément les polynômes.

Nous sommes d'accord mais comme tu le dis ensuite, il n'était pas du tout question de faire cette distinction ici. A partir du moment où l'on a décidé de fixer Q=k polynôme constant et d'évaluer alors la valeur de P en k, on a déjà implicitement confondu P et l'application polynomiale associée, d'où les remarques qui s'ensuivent et qui prennent donc elles aussi implicitement en compte ce fait.

par **Arkhnor** » 20 Déc 2010, 23:07

Je ne suis pas complétement d'accord. On a juste évalué le polynôme en une valeur, ce qui ne consiste pas à l'assimiler avec une fonction ...

Dans le raisonnement de l'exercice (qui marche avec n'importe quel corps, donc par exemple un corps fini), on a montré que pour tout scalaire x, P(x) = x.
Ca ne suffit pas pour conclure, on a juste prouvé que les fonctions polynomiales associées aux polynômes P et X coïncident.
On a ensuite besoin de savoir que l'on peut assimiler un polynôme et sa fonction polynomiale sans souci, et c'est vrai dans un corps infini, grâce à l'argument de "l'infinité de racines" ...

S'il n'est pas question de faire cette distinction ici, c'est justement grâce à cette propriété bien connue des corps infinis, que benekire2 a redémontrée dans ce cas particulier.

Je te l'accorde, c'est un peu du pinaillage, mais au niveau de benekire2, il vaut mieux prendre des précautions.

par **Nightmare** » 20 Déc 2010, 23:50

Arkhnor a écrit:Je ne suis pas complétement d'accord. On a juste évalué le polynôme en une valeur, ce qui ne consiste pas à l'assimiler avec une fonction ...

Ben ça consiste à faire quoi alors? Il me semble qu'à partir du moment où l'indéterminée devient déterminée, c'est à ce moment là qu'on fait appel à la fonction polynomiale et non le polynôme non?

Dans le raisonnement de l'exercice (qui marche avec n'importe quel corps, donc par exemple un corps fini), on a montré que pour tout scalaire x, P(x) = x.
Ca ne suffit pas pour conclure, on a juste prouvé que les fonctions polynomiales associées aux polynômes P et X coïncident.
On a ensuite besoin de savoir que l'on peut assimiler un polynôme et sa fonction polynomiale sans souci, et c'est vrai dans un corps infini, grâce à l'argument de "l'infinité de racines" ...

S'il n'est pas question de faire cette distinction ici, c'est justement grâce à cette propriété bien connue des corps infinis, que benekire2 a redémontrée dans ce cas particulier.

Je te l'accorde, c'est un peu du pinaillage, mais au niveau de benekire2, il vaut mieux prendre des précautions.

Je suis d'accord une nouvelle fois avec tout ceci sauf la conclusion. Au contraire, je pense qu'au niveau de benekire et de la question, il est nettement plus raisonnable de considérer P comme une fonction dès le départ sans le dire plutôt que d'avoir à parler de la distinction. Le résultat employé par benekire pour conclure est quand même nettement plus "compliqué" que de dire qu'une fonction qui envoie x sur x c'est l'identité. Je suis d'accord que ça masque un peu le fond du problème, mais permet aussi de l'élargir grandement.

par **benekire2** » 21 Déc 2010, 00:42

Bé pour moi montrer que P et X coïncidaient sur R ne suffisait pas (bien que sur un brouillon quand j'ai P(x)=x pour tout x réel j'écris évidemment directement que P=X)

Sinon, merci ben pour le hint et pour m'avoir montré une fois de plus qui je me suis cassé la tête ..

par **Arkhnor** » 21 Déc 2010, 09:22

c'est à ce moment là qu'on fait appel à la fonction polynomiale et non le polynôme non?

On y fait appel, mais on ne fait pas l'identification, qui nécessite un argument supplémentaire.

Au contraire, je pense qu'au niveau de benekire et de la question, il est nettement plus raisonnable de considérer P comme une fonction dès le départ sans le dire plutôt que d'avoir à parler de la distinction.

Peut-être, mais lui fait déjà cette distinction, ce qui est une bonne chose, alors à quoi bon le faire "redescendre d'un cran".

Le résultat employé par benekire pour conclure est quand même nettement plus "compliqué" que de dire qu'une fonction qui envoie x sur x c'est l'identité.

Au fond, ça revient à changer l'énoncé. Si l'énoncé était "Montrer que deux fonctions polynomiales P et Q telles que bla bla bla sont égales", alors on aurait pu se contenter de ça.

Bon, ça sert pas à grand chose de débattre, puisqu'on au fond on est d'accord. :zen:

par **benekire2** » 21 Déc 2010, 10:47

Arkhnor a écrit:Peut-être, mais lui fait déjà cette distinction, ce qui est une bonne chose, alors à quoi bon le faire "redescendre d'un cran".

Bof, nightmare voulait surement que j'évite de me prendre la tête.
Si j'essaie de faire la différence entre fonction et polynômiale et polynôme, c'est pas pour quand le corps de base est R ou C mais plutôt quand on est plus dans le monde des bisounours et que l'on part de Z/pZ par exemple, car certains énoncés deviennent faux avec les fonctions polynômiales, par exemple, les fonctions polynômiales x et x² sont égales (Z/2Z) alors que les polynômes formels ne le sont pas. En l'ocurrence ici on peut quand même acorder la victoire a nightmare du fait qu'on peut allégrement confondre polynômes formel et fonction polynômiale.

Ben > Pour la 5 , tu dit que c'est pareil que pour les triplets pythagoriciens sauf que les triplets pythagoriciens y a pas que les proportionnels qui fonctionnent ?

par **Ben314** » 21 Déc 2010, 10:54

benekire2 a écrit:Ben > Pour la 5 , tu dit que c'est pareil que pour les triplets pythagoriciens sauf que les triplets pythagoriciens y a pas que les proportionnels qui fonctionnent ?

C'est pas parce que la preuve est calquée sur le même modèle que ça veut dire q'on a le même résultat...
En fait, on aurait exactement le même résultat à un point virgule prés si on prenait n=2, mais l'énoncé précise que n>2 ce qui, dans N pose beaucoup de problème du fait qu'on ne peut pas factoriser complètement c^n-b^n (ou alors il faut se placer dans Z[?] pour avoir une factorisation complète mais ça déconne du fait que Z[?] n'est pas forcément factoriel : c'est ce qui a posé de gros problème pour montrer le "grand théorème de Fermat").
Dans C[X] on n'a pas ce problème et on factorise R^n-Q^n "les doigts dans le nez".

par **benekire2** » 21 Déc 2010, 11:35

Oui , on va avoir une factorisation théorique en produit de facteurs de degré 1. Après le but du jeu est de montrer que P,Q,R ont les mêmes racines , a moi de voir comment . . . (c'est normal que je trouve que ça m'est pas trop utile la démo pour les triplets pythagoriciens ? )

par **Ben314** » 21 Déc 2010, 11:44

Fait comme tu le sent...
Perso, je commence par recopier quasi texto la méthode des triplets Pytagoritiens jusqu'à ce qu'une différence apparaisse (le fait que n>2).

par **benekire2** » 21 Déc 2010, 11:47

Ben314 a écrit:Fait comme tu le sent...
Perso, je commence par recopier quasi texto la méthode des triplets Pytagoritiens jusqu'à ce qu'une différence apparaisse (le fait que n>2).

La preuve que j'ai c'est celle ci : http://serge.mehl.free.fr/anx/tripl_pytha.html

Je recopie jusqu'au moment ou on suppose les polynômes premiers entre eux , je ne pense pas recopier plus loin.

par **Ben314** » 21 Déc 2010, 11:53

Perso, je recopie... quasi jusqu'au bout...

par **benekire2** » 21 Déc 2010, 12:07

Bé tout le passage sur la parité ( qui devient le degré des polynôme chez nous) il sert a rien puisque j'arrive pas a traduire en version polynômiale ce que la preuve des triplets nous dit pour le degré des polynômes :mur:

par **Ben314** » 21 Déc 2010, 12:15

Si tu cherche à comprendre la preuve, le "passage sur la parité", il sert uniquement à s'assurer que des trucs du style (c+a)/2 et (c-a)/2 sont encore dans l'anneau sur lequel on travaille (c'est à dire Z).

Si R et P sont dans C[X], à quelle condition les polynômes (R+P)/2 et (R-P)/2 sont ils encore dans C[X] ?
Conclusion.

P.S. : la "parité" dans Z n'a absolument rien à voir avec le degrés dans C[x].
Etre pair, c'est etre divisible par 2 (dans Z) or, dans C[X], 2 est inversible donc...

Exercice "Pot pourri polynômes"

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