Exercice matriciel

[Maths-ForumR]

Bonjour,

J'ai besoin d'aide sur cet exercice :

Soit E=R^3 muni de la base canonique B=(e1,e2,e3), et f l'endomorphisme de E canoniquement associé a A.

1) Determiner Im(f) et Ker(f)
2) Soit B'=(u1,u2,u3) avec u1=(-1,0,1), u2=(-1,1,0) et u"=(1,1,1); montrer que B' est une base de E et donner la matrice de f dans la base B'
3) Écrire P et calculer P^(-1)
4) Calculer A^n

Merci d'avance

[Pseuda]

Bonjour,

Pour 1), je trouve que ker f = (0,0,0). D'ailleurs, le déterminant de la matrice est 0, donc l'endomorphisme est bijectif, donc ker f est nul.

[Maths-ForumR]

Oui pardon je me suis trompé en écrivant mai je l'ai changé entre temps.

[Pseuda]

Bon. On a : dim ker f + dim Im f = dim E. Donc si ker f = (0,0,0), alors dim ker f = ? dim Im f = ? et donc Im f = ?

Ou encore : f est bijectif (car ker f = 0), donc Im f = ?

[Maths-ForumR]

On a dim Im f = 3 donc Im(f)=(e1,e2,e3)

[Pseuda]

Donc Im f = Vect (e1, e2, e3) = E.

Ok pour B', c'est une base. Pour calculer P^(-1), tu peux le faire avec une calculatrice.

Puis tu calcules A' = P^(-1)*A*P. Tu dois trouver une matrice diagonale, qui te permettra ensuite de calculer A^n facilement.

[Maths-ForumR]

Très bien merci beaucoup pour votre aide

[aymanemaysae]

Bonjour;

Pour j'ai trouvé :

et pour .

Si on pose et ,

on a ) .

J'espère que ce n'est pas faux .