Exercice, inégalité triangulaire - valeur absolue

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Victor75
Messages: 2
Enregistré le: 12 Aoû 2022, 12:30

Exercice, inégalité triangulaire - valeur absolue

par Victor75 » 12 Aoû 2022, 12:49

Bonjour le forum,
Désolé de poster dans cette catégorie (lycée aurait été plus adapté) mais je n'arrive pas à poster dans l'autre partie du forum.
Je m'exerce actuellement sur la séquence 1 des cours de Première S du CNED (anciennement disponibles gratuitement sur Internet). Et depuis avant-hier, je bute sur un exercice dont je suis certain que la résolution est pourtant simple. Je rage d'autant plus que je ne comprends pas la réponse.
La question:
Montrer que pour tous x, y, z réels, on a : d(x ; z ) ≤ d(x ; y )+ d(y ; z).
Alors j'ai démarré en confiance en voulant montrer tous les cas possibles.
x ≤ y ≤z - ma réponse colle avec la correction : d(x ; z ) = z – x et d(x ; y )+ d(y ; z )=(y – x )+(z – y )=z – x . On a
donc bien d(x ; z ) ≤ d(x ; y )+ d(y ; z).

y ≤ x ≤z - alors la correction : d(x ; z ) = z – x et d(x ; y )+ d(y ; z ) = (x – y )+(z – y ) = z – x + 2(x – y ).
On a donc bien d(x ; z ) ≤ d(x ; y )+ d(y ; z ) (car 2(x – y ) ≥ 0).

Je m'arrache les cheveux car je ne comprends pas pourquoi on factorise (x-y). J'ai beau revenir sur le cours, essayer en long en large et en travers... je ne comprends pas.

Pourriez-vous m'expliquer le détail qui me manque ?
Merci d'avance,
Victor



catamat
Membre Rationnel
Messages: 688
Enregistré le: 07 Mar 2021, 12:40

Re: Exercice, inégalité triangulaire - valeur absolue

par catamat » 12 Aoû 2022, 17:25

Bonjour

Ce ,'est pas une factorisation, en fait on souhaite faire apparaitre z-x c'est à dire d(x,z)

Or on a x-y + z-y
donc on ajoute x-x ce qui ne change rien bien sûr et on obtient
x-y + z-y+x-x
on isole alors le z-x que l'on cherchait à faire apparaître
(z-x)+2x-2y
ou encore (z-x)+2(x-y) qui est supérieur à z-x car x-y est positif.

Victor75
Messages: 2
Enregistré le: 12 Aoû 2022, 12:30

Re: Exercice, inégalité triangulaire - valeur absolue

par Victor75 » 13 Aoû 2022, 12:57

Bonjour,
J'ai compris la méthode, merci !
Victor

 

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