Exercice fontion x^x

[bibilolo]

Exo que j'ai commencée mais qui devient plus ardu sur la fin
Soit pour tout x appartenant à R+* f(x)=x^x=e^xlnx et f(0)=0
1 Etudier la continuité puis dérivabilité de f sur R+
Je trouve f continue et dévivable sur R+* mais f n'est pas continue donc pas dérivable en 0.
2 Dresser les variations de f, je trouve f décroissante sur ]0;1/e] croissante ensuite.
3 Quelle est la position de Cf par rapport à T sa tangente en son point d'abscisse 1. Je trouve cf au dessus de T
4 On note g=f sur [1/e;+infini[=I
Démontrer que g réalise une bijection de I vers J à déterminer
J'ai réussi à démontrer que g réalise une bijection de I vers [e(-1/e);+infini]
Ensuite je bloque.
5 Démontrer qu'il existe une application phi de J sur I telle que phi(x)^phi(x)=x?
6 Etablir que phib est négligeable devant la fonction logarithme népérien au voisinage de + infini?
7 Trouver K l'intervalle le plus grand sur lequel phi(x) est dérivable et montrer pour tout x de K phi'(x)=phi(x)/(x(phi(x)+lnx))?
8 On note D la courbe représentative de phi dans un repère orthonormal, et pour tout n de N* la tagente Tn à D en son point d'abscisse n
a Déterminer l'abscisse un de l'intersection de Tn avec l'axe (O;i)(axe des abscisses)
b Donner un équivalent de un lorsque n tend vers l'infini.

Voila la fin est vraiment difficile je ne voie pas comment faire, pouvez vous m'aider?

Je tiens à préciser que pour la 5 j'ai réécris phi(x)^phi(x)=x sous la forme e^[phi(x)ln(phi(x))]=x puis
phi(x)ln(phi(x))=lnx mais je vois pas comment faire après ce qui me bloque.

[Ben314]

Salut,
Pour la question 5), vu que tu as montré dans la 4) que g:I->J est bijective, tu as le droit de parler de g^(-1):J->I. Quelle propriété a cette fonction g^(-1) ? (ne pas chercher compliqué...)

Pour la 6) : le fait que lim(x->oo,g(x))=+oo implique que lim(x->oo,phi(x))=...
Ensuite, partant de phi(x)^phi(x)=x, en prenant le ln des deux cotés, tu montre que phi(x)/ln(x)=... ce qui permet de conclure.

Pour la 7), c'est une application directe d'un théorème que tu as vu en cours...

[bibilolo]

donc g^-1 est continue comme g, même sens de variation, donc croissante et dérivable la ou g' ne s'annule pas mais je vois pas trop le rapport?
Ah oui sinon je viens de me rendre compte que j'ai mal recopié l'énon cé de la question 5:
Démontrer qu'il existe une application phi de J sur I telle que: pour tout x appartenant à J, phi(x)^(phi(x)=x. J'avais oublié le pour tout x de J


Pour la 5 je comprends toujours pas

Pour la 6 lim phi quand x tend vers + infini est forcément + infini
Pour la 7 il s'agit de la formule g^-1'=1/(g'og^-1) mais je dois avouer que j'ai pas v raiment cherché après la 5 ou je comprends pas

[Ben314]

Bon, je te "vend la mèche", mais c'est un peu bébète :
Vu la définition de g, ben phi(x)^phi(x), c'est g o phi(x)...

[bibilolo]

ah oui oups je viens de réaliser:

gophi(x) = x

Donc la 5 était en fait simple si l'on ne se braque pas dessus.

J'essaie d'avancer un peu

Ok pour la 6

[bibilolo]

Pour la 7 j'ai fait quelque chose:
on a phi.ln(phi)=lnx
d'ou si on dérive
phi'.ln(phi)+phi'=1/x
or, ln(phi)=lnx/phi
donc phi'.(lnx/phi)+phi'=1/x
finalement je trouve le résultat mais je n'ai pas utilisé la formule. Je peux?

Pour la 8 j'ai toujours du mal avec les tangentes alors la si on ajoute du paramètre...
Je vois pas trop comment commencer

Ah oui et pour la 7 K c'est 0 exclu + infini pour que ln phi soit dérivable

[Ben314]

Pour la 7), si tu trouve le bon résultat, c'est que ça doit être O.K.
Perso, j'y serait allé "avec des gros sabots" : vu qu'en fait phi=g^(-1), j'aurais utilisé le Th. de cours qui donne les conditions pour qu'une bijection réciproque soit dérivable et qui donne dans ce cas la formule de dérivation : (g^(-1))'=1/(g'og^(-1)).

Pour la 8), c'est "niveau Lycée" : La tangente à la courbe de phi au point d'abscisse n a pour équation ...
Chercher son intersection avec l'axe des x revient à résoudre ... donc Un=...

[bibilolo]

T(un):phi'(un).(x-un)+phi(un)
Je résous cela =0
Et je remplace phi' par l'expression trouvée à la question précédente dans la formule.
Ok merci
Je résous cela

Désolé je bloque dans les calculs
Je vais établi ce dont je suis sur:
phi'(un).(x-un)+phi(un)=0
je remplace phi'(un) avec l'expression trouvée avant:

d'ou [phi(un)/(un(phi(un)+ln(un))].(x-un) + phi(un) =0
après doit avoir des astuces de calcul que je vois pas car cela donne une expression très longue or mon prof nous dit toujours que si c'est trop long c'est que l'on a dû se compliquer la tâche.
Néanmoins j'ai développer et réduit au même dénominateur:
d'ou {xphi(un)-unphi(un)+phi(un)[un(phi(un)+ln(un))]}/(un[phi(un)+ln(un)) =0

et la je me perd dans les calculs

[bibilolo]

S'il vous plait c'est pas si simple, la formule je connais mais pour résoudre l'équation c'est une autre paire de manches...

[Ben314]

Bon, déjà, ta tangente c'est celle au point d'abscisse "n" donc son équation, c'est
y=phi'(n).(x-n)+phi(n)
et l'équation à résoudre (dont la solution est Un) , c'est donc
phi'(n).(x-n)+phi(n)=0
dans laquelle on 'connait' "n" et on cherche "x". La solution est donc
x=n-phi(n)/phi'(n)=n-n(phi(n)+n) en utilisant la "formule" phi'(x)=...
Conclusion :
Un=n-n²-n.phi(n)
Pour trouver un équivalent de Un, il suffit de se demander lequel des trois terme composant Un semble le plus important puis de vérifier qu'on s'est pas gourré en évaluant Un/terme_le_plus_important et en vérifiant que ça tend vers 1.

[bibilolo]

ok merci en fait n est fixé j'avais pas compris.
Merci pour tout le reste