Exercice bijectivité surjectivité polynome 3°

[mt90]

Bonjour j'ai besoin d'aide,
voici l'enoncé du probleme:

Exercice 2:
1. Etudier selon les valeurs des parametres reels a, b, c et d l'injectivite et la surjectivite de la
fonction f : R -> R definie par
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d:

2. Comment choisir I c R et J c R pour que dans chacun des cas etudies ci-dessus, la fonction
f : I -> J definie par
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
soit bijective?

ma question est la suivante, dois-je prendre l’hypothèse ou a=0 ou est-ce inutile? merci de votre aide

[Ben314]

Salut,
En toute rigueur, oui, tu doit considérer le cas a=0, mais il est très assez rapide à traiter
Attention quand même au cas particulier de cas particulier où a=0 et b=0 ainsi que...

Sinon, on va dire que les cas "intéressant", c'est quand même plutôt lorsque a est non nul.

[mt90]

merci de votre réponse.

effectivement j'ai fait le cas ou a=0 , et il est vrai que dans la question 2), le fait d'avoir emis l’hypothèse que a pouvait être égal a 0 nous empêche de trouver un intervalle unique tel que f serait bijective.

Comment faire ? :/

[Ben314]

merci de votre réponse.

effectivement j'ai fait le cas ou a=0 , et il est vrai que dans la question 2), le fait d'avoir emis l’hypothèse que a pouvait être égal a 0 nous empêche de trouver un intervalle unique tel que f serait bijective.

Comment faire ? :/

Je comprend pas trop la remarque là (ni la question qui suit d'ailleurs : "comment faire ?" -> faire quoi ?)

Concernant la question 2), tu va avoir deux cas de figure :
- Soit f est injective sur R tout entier et on peut prendre absolument n'importe quel intervalle pour I (par exemple R tout entier, mais on peu aussi prendre "plus petit" si on veut) et on prendre évidement J=f(I).
- Soit f n'est pas injective et il faudra prendre pour I un intervalle sur laquelle la fonction est injective (c'est à dire strictement monotone dans le contexte de l'exercice) donc plusieurs choix possibles (même si on essaye de prendre "le plus grand possible"). Pour J par contre, il faudra évidement aussi prendre J=f(I).