Exercice avec des sommes

[dindon]

Bonjour.
Je suis en train de travailler sur un exercice où le but final est de calculer Fn(t)=1/n(D1(t)+D2(t)+...+Dn(t)) avec Dp(t)=sum(exp(i*k*t),k,-p+1,p-1)

On a montré que Fn(t)=sum( (1-abs(k)/n)exp(i*k*t),k,-n+1,n-1).
On demande ensuite de calculer sous forme d'un quotient sum(exp(i*k*t),k,0,n-1) (si t n'est pas un multiple de 2pi), puis de dériver cette somme et ce quotient.
On doit s'en servir pour exprimer Fn(t) sous forme du carré d'un quotient de sinus (a priori je pense que Fn(t)=1/n (sin(nt/2)/sin(t/2))^2 mais bon il faudrait le montrer proprement).

Je pense avoir compris l'utilité de cette méthode (trouver une expression (non évidente sinon) de sum(k*exp(i*k*t),k,1,n-1) grâce a la dérivée du quotient divisée par i, pour ensuite en trouver la partie réelle et terminer le calcul) mais mes calculs sont vraiment affreux et je ne m'en sors pas. Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider en m'aiguillant un peu ? Merci d'avance.

(désolé, je ne maitrise pas latex ) :triste: