Exercice d'algèbre linéaire (application et matrice)

[novicemaths]

Bonjour

Voici l'énoncé d'un exercice d'algèbre linéaire.

On considère l’application définie par f(Q(X)) = Q'(X).
On pose P(X) := 3X + 2 et R(X) := 2X + 3.

1) Vérifier que f est un endomorphisme de
2) Montrer que la famille est une base de
3) Donner la matrice de f dans la base B


Voici ce que je propose comme solution.

1)
On doit montrer que est un endomorphisme de

avec



L'image est la dérivée de Q(X) et l'antécédent est la primitive de Q'(X).

Maintenant, on détermine si f est linéaire.

Soient et avec







L'application f est linéaire.
2)
On doit montrer que la famille, est une base de
Essayons de montrer que est génératrice.

et avec

On résout .

On a

Par identification:







3)
On détermine la matrice.

On a avec et



On a aussi





Est-ce que mes calculs sont corrects ?

A bientôt

[phyelec]

Bonjour,

Pour la question 1, il y a de l'idée, mais il faut prendre



et prouver que :

[phyelec]

Pour la question 2) la démarche est correcte et je trouve les mêmes valeurs que vous pour et

[novicemaths]

Re bonjour

Est ce que Q'(X) est la dérivé de Q(X).

Car on a Q(X)= Q'(X).

A bientôt

[phyelec]

je suppose que oui, mais votre énoncé ne le précise pas.

[phyelec]

pour la question 3)
je ne comprends pas ce que vous faites.
la canonique de est (1,X), si on note et on a

[tournesol]

Pour moi la question 3 est bien résolue .

[phyelec]

@tournesol, je ne comprends pas sa méthode, je ne connais pas la démarche avec B(X),B(P(X)),B(Q(X)). Je n'ai pas vérifié le résultat.

[novicemaths]

Bonsoir

Il faut utiliser le résultat de la question 2) phyelec .







J'ignore si c'est mieux expliqué là.

A bientôt

[tournesol]

Il y a des erreurs de notations(Q à la place de R) mais la méthode est bonne.
f(P)=3=0X+3=(d'après 2)-(6/5)P+(9/5)R
f(R)=2=0X+2=-(4/5)P+(6/5)R
D'où la matrice.

[phyelec]

@tournesol, oui je ne voyais pourquoi il mettait B au lieu de f.