Etude d'une série de fonctions

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Bonsoir,

En traitant un sujet consistant à étudier différentes propriétés de dérivabilité de la fonction,
R : R -----> C définie par
J’ai rencontré quelques difficultés dans la partie consistant à étudier la dérivabilité en pi.
Je viens donc solliciter votre aide ; l’énoncé figure ci-dessous. Je vous remercie d’avance pour vos retours.
Partie 4 : Etude de la dérivabilité de R en pi
On considère la fonction f : R -----> C telle que :
f(t)= \frac{e^{it^2} - 1}{t^2} si t \neq 0
i si t = 0
1)Montrer que f est de classe sur R. On pourra utiliser un développement en série entière.
2)Etablir que et que quand t tend vers
3)Montrer la convergence de
4)Montrer que quand x tend vers

On pose à présent :
pour x réel
5)En utilisant la formule sommatoire de Poisson, montrer qu’il existe des complexes a et b tels que :
quand x tend vers 0 par valeurs strictement positives.
Préciser la valeur de b, et exprimer a en fonction de l’intégrale I.
6) Exprimer pour x réel, en fonction de et
7)Déduire de ce qui précède que la fonction R et dérivable en \pi et préciser la valeur de sa dérivée.
J’ai réussi les questions 2 et 3
Pour la 1, j’ai essayé d’appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme mais je n’arrive pas à remplir les hypothèses nécessaires.
Pour la 4 je pense procéder par IPP.
Pour la suite je ne sais comment m’y prendre.