Etude d'une série de fonctions

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye d'étudier les modes de convergence d'une série de fonctions, mais je suis bloqué depuis un bon moment, du coup j'aurai bien besoin d'un coup de main svp.


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Je dois déterminer les modes de convergence (normal, uniforme, absolu convergence, convergence simple) de la séries





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J'ai posé pour tout n>=1

Cette fonction est continue, dérivable, borné (car continue, et tend vers 0 en + et - l'infini) sur R.

J'ai montré qu'il n'y pas convergence normale de la série des fonctions sur R car leur borne sup est 1/n qui est le terme général d'une série divergente.

Cependant, il y a convergence simple de la série sur R en vertu du critère de Leibniz sur les séries alternées :

pour x réel, la suite est de signe alterné tend vers 0 et décroit,

mais elle ne décroit qu'à partir d'un certain rang qui dépend de x ( à partir du rang Ent(|x|)+1 )

du coup je n'arrive pas à majorer uniformément en x le reste de la série


Je n'arrive pas à conclure que la série converge uniformément...
si ça se trouve je ne peux pas montrer que la série converge uniformément sur R, mais je préfère ne pas dire de bêtises, c'est pourquoi j'aurai bien besoin d'aide.


Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Ben314]

Salut,
Effectivement, ilm y a C.V. simple mais pas convergence absolue, vu que diverge (donc pas de convergence normale non plus).

Aprés, perso, pour la convergence uniforme, vu que la suite de fonction C.V.U. vers 0 sur la C.V.U de de la série de terme général équivaut à la C.V.U. de la série de terme général .

Or, pour tout et tout , on a :



Ce qui prouve que la série de terme général converge normalement (donc uniformément) sur .