[Problème] étude d'une primitive

[Majaspique]

Bonjour, ce problème comporte 20 questions, pourriez-vous m'aider ?
Les questions où je bloque sont en rouge mais je met tout le sujet pour que vous puissiez comprendre.
Merci d'avance pour votre aide !

Sujet :


PARTIE I

Q1 Justifier que la fonction est bien définie sur , continue et dérivable
Recherches :
Voilà ce que j'ai fait mais je ne suis pas sûr que ce soit complet :
est la primitive de la fonction Or est définie, continue sur car est définie, continue sur . Donc est définie continue et dérivable sur .
edit : c'est bon, merci aviateur

Q2. Calculer
Q3. Calculer
Q4. a) Montrer que :
b) En déduire et

PARTIE II
Q5. À l'aide d'un changement de variables, montrer que est impaire.
Recherches :
C'est la première fois que je le fait avec une intégrale, donc je ne suis pas sûr de ce que j'avance :



edit : passage de la l1 à 2 justifié

Q6. Calculer et préciser le sens de variation de sur
Q7. Montrer que
Q8. Démontrer que pour tout t positif,
Q9. En déduire que est majorée par sur
Recherches :
Je bloque à la fin :






Et là, je n'arrive pas à démontrer que
edit : c'est bon, j'ai réussi, merci aviateur.

La fonction admet donc une limite finie en , celle-ci est notée
Montrer que sur
Recherches
Avec la question précédente, on peut en déduire que est également majorée
Je montre ensuite que est minorée par 1/k et j'en déduis que J_k est également minorée :



edit : c'est bon, j'ai réussi.

Q11. La fonction a-t-elle une limite en ?
Recherches :
edit : J'utilise le fait que est impaire et admet une limite finie en (questions précédentes) donc admet une limite en et elle vaut

Q12. a) Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse 0
b) Donner l'allure de la courbe représentative de
Recherches :
Voilà ce que j'obtiens mais je ne suis pas sûr d'avoir bien saisi la question (on demande l'allure d'une courbe alors que est une intégrale, donc une aire sous la courbe) :
http://www.noelshack.com/2018-44-7-1541338725-img-0221.jpg

Q13. Démontrer que et
Q14. Montrer que la suite est décroissante.
Q15 En utilisant Q4 démontrer que
Q16. Montrer que la suite est constante. Préciser la constante.
J'obtiens
Q17 À l'aide d'un encadrement, montrer que :
Recherche :
J'ai essayé d'utiliser l'encadrement Q10 mais ça n'a pas aboutit :



Q18. En déduire que

Je ne parviens pas à voir le lien.

[aviateur]

Bonjour
Je commence à regarder tes réponses. Pour la question en gros c'est ça (en fait on ne fait que constater des propriétés bien connues de l'intégrale.
Mais j'ai bien dit en gros. Car la rédaction laisse à désirer par son manque de rigueur et de précision.
Par exemple ça me gêne que l'on dise "la fonction ch(x) est continue sur "
Ensuite la fonction "1/ch(x) est définie car...." et oublier de dire que "ch(x)\neq 0 , \forall x\in \R"
pour moi c'est faux.
Je regarde la suite.

[aviateur]

Pour Q5
les égalités sont bonnes mais la deuxième est donnée comme ça sans justification. Donc c'est à corriger.

Pour Q7 J'ai un gros doute que tu aies pu démontrer cela. (car c'est faux).

[Ben314]

Salut,
J'étais en train de répondre, mais si tu t'y colle ça m'arrange (copies à corriger...).
Sinon, si je post., c'est juste pour dire que perso. (en temps que correcteur...) j'aurais un tout petit peu tendance à penser que si le passage "sans justification" de la Q5. est effectivement correct, c'est... un gros coup de chance...
(et comme je suis joueur, je voudrais savoir si au final j'ai raison ou pas...)

[Majaspique]

J'avais écrit une erreur dans l'énoncé pour les questions 9 et 10, j'avais inversé certains signes, j'ai corrigé dans le sujet.

[aviateur]

et Q7??

[Majaspique]

et Q7??

Oui Q7 aussi, au temps pour moi, dans ma tête geq c'était inférieur ou égal et leq l'inverse donc j'ai fais quelques erreurs, désolé
Pour cette question, j'ai posé u(x) = I_k(x)-x.
On calcule sa dérivée ()
on observe qu'elle est est négative donc u(x) décroissante
De plus u(0) = 0
donc u(x) < 0

[aviateur]

Pour Q9 Rien de compliqué. Tu utilises la majoration précédente de 1/cosh(t).
Qui te donne une majoration de 1/cosh(t)^k (pour t>0). Alors tu en déduis une majoration de I_k(x) par une intégrale facile à calculer et tu verras quasiment le résultat.

J'ai pas vu tes calculs. Ils sont bons. Développe ton expression et simplifie les signe la réponse est là.

C'est pas grave retenir geq g=greater (plus grand) leq (less, lower, plus petit...)

[Majaspique]

Bonjour
Par exemple ça me gêne que l'on dise "la fonction ch(x) est continue sur "
Ensuite la fonction "1/ch(x) est définie car...." et oublier de dire que "ch(x)\neq 0 , \forall x\in \R"
pour moi c'est faux.

Oui j'ai été un peu vite sur le 1/ch(x) différent de 0.
Je ne comprends pas ce qui vous gène dans "est continue sur R", je devrais plutôt dire qu'elle est définie sur R et continue ?
À part ces deux problèmes, y'a-t-il autre chose pour cette question
(en vérité, je n'ai jamais fait ce genre de question au lycée ou seulement une ou deux fois) donc la rédaction devait surement présenter peu de rigueur d'où le fait que je demande.

Pour la Q5, je ne vois pas comment justifier le passage à la ligne 2 vu que l'on ne peut pas calculer l'intégrale.

Je vais essayer pour les questions 9 et 10 dans ce cas.

[aviateur]

Je ne vois pas ton raisonnement qui montre que la fonction admet une limite en
D'autre par puisque les fonctions I_k sont impaires il n'y aucun problème pour l'existence des limites en Elles se déduisent de ce qu'il se passe en

[aviateur]

est une fonction (définie par une intégrale certes mais c'est une fonction).

Donc l'allure doit montrer qu'en plus infini, il y a une asymptote horizontale qui est la droite

[aviateur]

Pour ta réponse à Q7 c'est pas clair. La dérivée de ta fonction x---> I_k(x)-x est fausse.

[Majaspique]

Pour ta réponse à Q7 c'est pas clair. La dérivée de ta fonction x---> I_k(x)-x est fausse.

La dérivée de est-elle bien ? car si c'est le cas, non?

Je ne vois pas ton raisonnement qui montre que la fonction admet une limite en
D'autre par puisque les fonctions I_k sont impaires il n'y aucun problème pour l'existence des limites en Elles se déduisent de ce qu'il se passe en

Donc pour la question 11 il suffit de dire que puisque est impaire et que sa limite en +oo est finie, sa limite en -oo est également finie ?

Pour la Q9, j'ai pu trouver la réponse, je n'avais pas assez simplifié les signes.
Pour la Q10, j'ai modifié mon post initial

[aviateur]

La dérivée de est-elle bien ? car si c'est le cas, non?

Oui mais c'est pas ça qui était écrit!

Donc pour la question 11 il suffit de dire que puisque est impaire et que sa limite en +oo est finie, sa limite en -oo est également finie ?

oui mais c'est mieux que ça la limite en - l'infini vaut - la limite en +\infini (c'est à dire -J_k)

[aviateur]

Là je commence à être perdu. De plus je travaille de tête. Alors je te laisse faire le point et si tu as des questions je reviendrai dessus.

[aviateur]

Pour la Q5, je ne vois pas comment justifier le passage à la ligne 2 vu que l'on ne peut pas calculer l'intégrale.

J'ai pas répondu à cette question. D'abors montrer que ne demande pas de savoir calculer l'intégrale.
Ensuite tu peux tenir compte de l'indication (faire un changement de variable).
De plus c'est un peu "téléphoné" le changement de variable c'est u=-t.

[Majaspique]

Là je commence à être perdu. De plus je travaille de tête. Alors je te laisse faire le point et si tu as des questions je reviendrai dessus.

J'ai déjà pu corriger quelques trucs grâce à toi (j'ai retiré le rouge aux questions où j'ai trouvé la réponse) donc je te remercie. Voilà les questions pour lesquelles je bloque encore :

Q1. Justifier que la fonction est bien définie sur , continue et dérivable
Recherches :
D'après ce que tu m'as dit, je peux réécrire ça comme cela :
est la primitive de la fonction .
Or est définie sur et continue.
De plus, elle est strictement positive sur donc est définie sur , et continue.
Finalement, est définie sur , continue et dérivable.

Q5. Tu viens de répondre et en plus, je n'avais lu que la moitié de la question
Edit : j'ai trouvé le résultat, merci encore.

Q10. Montrer que sur
Recherches
(on démontre que I_k est minoré par 1/k selon le même principe que la question 9) On a alors :



Est-ce correct ?

[aviateur]

Voici pour Q1:

Q1. Justifier que la fonction est bien définie sur , continue et dérivable
Puisque la fonction cosinus hyperbolique (ou cosh) est définie, continue et ne s'annule pas sur alors la fonction qui a x fait correspondre 1/ch(x)^k est définie et continue sur

est la primitive qui s'annule en 0 de cette fonction.
La fonction est donc continue et dérivable sur

Q10 pour l'encadrement de c'est bon. Mais l'existence? elle vient de:

La fonction est croissante sur de plus elle est majorée par alors elle admet une limite finie quand x tend vers

[Majaspique]

Voici pour Q1:

Q1. Justifier que la fonction est bien définie sur , continue et dérivable
Puisque la fonction cosinus hyperbolique (ou cosh) est définie, continue et ne s'annule pas sur alors la fonction qui a x fait correspondre 1/ch(x)^k est définie et continue sur

est la primitive qui s'annule en 0 de cette fonction.
La fonction est donc continue et dérivable sur

Q10 pour l'encadrement de c'est bon. Mais l'existence? elle vient de:

La fonction est croissante sur de plus elle est majorée par alors elle admet une limite finie quand x tend vers

Merci, si tu as encore du temps, voici la suite du problème, je bloque à partir de la question 17 (je met la suite dans le 1er post si tu veux revoir tout le sujet):
Q13. Démontrer que et
Q14. Montrer que la suite est décroissante.
Q15 En utilisant Q4 démontrer que
Q16. Montrer que la suite est constante. Préciser la constante.
J'obtiens
Q17 À l'aide d'un encadrement, montrer que :
Recherche :
J'ai essayé d'utiliser l'encadrement Q10 mais ça n'a pas aboutit :



Q18. En déduire que

Je ne parviens pas à voir le lien.

[aviateur]

Je ne vois pas la question 17. C'est quoi?

De toute façon on peut faire Q18 sans connaître Q17.

On a (d'après les question précédentes)
et par la décroissance de la suite on a:


Encore on remplace et on obtient d'où le résultat.