Etude d'une suite récurrente associée à une fonction

[Joe Black]

Bonjour. :happy2:

Je suis en deuxième année de prépa éco et je bloque depuis un bon moment sur une question d'un DM de maths.

Je recopie l'exercice depuis le début au cas où la solution réside dans une des questions antérieures.

SUJET :

On considère l'application f définie sur par

Partie I : Etude et représentation graphique de f

1) Montrer que f est dérivable sur On note f' sa fonction dérivée.
Pour tout , calculer f'(x).

2) Etablir : ,

3) En déduire que ,

4) En déduire le sens de variation de f.

5) Dresser le tableau de variation de f, comprenant la limite de f en 0 et la limite de f en . Calculer f(1) et f'(1).

6) Précisez la nature des branches infinies de la courbe représentative de C de f dans un repère du plan.

7) Tracer l'allure de C. On précisera la tangente au point d'abscisse 1.
Il n'est demandé ni l'étude de la convexité, ni la recherche d'éventuels points d'inflexion.

Partie II : Etude d'une suite récurrente associée à f.

On considère la suite réelle définie par et

1) Montrer que, pour tout , existe et

2) Etablir, par récurrence :

MES RECHERCHES

Partie I


On montre que à l'aide du résultat prouvé dans les questions 2 et 3.
Donc f est strictement croissante sur .
Les limites de f en 0 et sont respectivement de et .
f(1)=1 et f'(1)=3
Une étude de limite montre que C admet une branche parabolique de direction Oy.

Partie II

1) J'ai réussi à montrer ce qui était demandé par récurrence en montrant que est croissante.

2) Je suis bloqué à cette question. L'initialisation de la récurrence est évidente mais je n'arrive pas à montrer l'hérédité de la proposition. J'ai essayé d'utiliser le fait que f soit croissante pour dire que comme (hypothèse de récurrence) on peut dire que . Je voulais ensuite montrer que mais cela n'est pas vrai tout le temps. :mur:

Pourriez-vous m'éclairer SVP ?

Merci d'avance. :happy2:

Joe Black

[jlb]

bonjour
a priori récurrence + petite minoration:

Un+1>=Un*exp(Un-1) avec Un>=exp(n) et Un>=2 tu as Un+1>=exp(n)*exp(2-1)=exp(n+1) soit l'hérédité
reste à montrer la propriété au premier rang!

[Joe Black]

bonjour
a priori récurrence + petite minoration:

Un+1>=Un*exp(Un-1) avec Un>=exp(n) et Un>=2 tu as Un+1>=exp(n)*exp(2-1)=exp(n+1) sois l'hérédité
reste à montrer la propriété au premier rang!

Merci de votre réponse mais je ne comprends pas comment vous faites pour affirmer que

[jlb]

Merci de votre réponse mais je ne comprends pas comment vous faites pour affirmer que

Un+1=f(Un) et Un + ln(Un)>= Un + ln2>=Un (croissance ln et Un>=2) on a aussi Un - 1>=1 (Un>=2)et exp croissante d'où exp(Un - 1)>=e

[Joe Black]

Un+1=f(Un) et Un + ln(Un)>= Un + ln2>=Un (croissance ln et Un>=2) on a aussi Un - 1>=1 (Un>=2)et exp croissante d'où exp(Un - 1)>=e

Merci. Je comprends maintenant.

Bonne soirée.

Joe Black