Qu'est-ce qu'une distribution ?

[Viko]

Salut,

Lorsque que l'on dit qu'un objet mathématique (comme le "Dirac") est une distribution qu'est-ce que sa signifie ? Quelles sont les principales différences entre une fonction et une distribution ?

Merci !

[aviateur]

Bonjour
"Explication simpliste" : tu considères l'espace des fonctions définies sur
indéfiniment dérivables, à support compact (i.e nulle en dehors d'un segment [a,b]).
Un élément qcq de E sera noté

Un élément T de E' (i.e une forme linéaire sur E) est appelé (une) distribution.

Exemple 1: Distribution associée à une fonction f notée



Moralement et f c'est la même chose. Une telle distribution est donc considérée comme une fonction.

Exemple 2. Soit définie par T est la mesure de Dirac
(notée )

Ensuite on peut faire beaucoup de calculs dans E' en généralisant la notion de dérivée, de transformée de Fourier....

Par exemple si f est une fonction dérivable on a pour tout (avec une i.p.p



Ce qui donne l'idée de définir la dérivée d'une distribution T notée T' par la formule


Ainsi toute fonction dans E' est dérivable.


exemple Soit H la fonction de Heaviside définie par H(x)=1 si et H(x)=0 si x<0.

Calculons sa dérivée :



c'est à dire que la fonction H a pour dérivée la mesure de Dirac.
(Bien entendu au sens classique la fonction H n'est pas dérivable mais au sens des distributions elle l'est mais sa dérivée n'est pas une fonction au sens classique).

Tout cela est bien sûr mathématiquement rigoureusement défini, voir Laurent Schwartz mais il ne faut pas oublier Sobolev, Hadamard...

[Viko]

Merci ! je ne suis pas sûr d'avoir tout bien compris mais je pense avoir eu l'idée principale

[Sylviel]

Sinon un peu plus avec les mains la notion de distribution est une généralisation de la notion de fonction, qui peut admettre des valeurs infinie en un point mais dans la masse (l'intégrale) autour de ce point reste finie.

Un exemple simple en physique : on approxime une planète par une charge ponctuelle. C'est fort pratique pour faire de la mécanique spatiale. La densité n'est plus une fonction : elle vaut 0 partout sauf en un point où elle vaut l'infini. Par contre son intégrale est simplement la masse de l'objet initial...

[Viko]

D'accord même si c'est moins rigoureux c'est plus clair comme ça, c'est donc pour sa que le dirac est une distribution car lorsqu'on "dérive" la fonction de heavyside en 0 on passe de 0 à 1 instantanément la "dérivée" "vaut" donc l'infini elle vaut donc 0 partout et l'infini en 0 ! encore merci !

[Lostounet]

Merci ! je ne suis pas sûr d'avoir tout bien compris mais je pense avoir eu l'idée principale

Peut-être qu'en TS c'est encore trop tôt... c'est quand même dur les distributions, même pour des étudiants de Master...

Mais patience, tu as tout le temps devant toi.

[Viko]

Oui j'imagine... j'ai hâte en tout cas ^^