Qu'est ce que des boréliens?

[absolut-diabolik]

Rassurez vous j'ai lu la définition : éléments de la tribu borélienne qui est la tribu engendrée par les ouvert de R mais concrètement j'arrive pas à voir ce que c'est.
Je sais que les pavés ouverts, les pavés fermés sont des boréliens. souvent en exercice pour montrerqu'un ensemble est un borélien on utilise une fonction réciproque, tout ça j'ai "compris".
Mais là je séche complétement sur un exercice, je ne sais pas par où commencer et la définition ne m'inspire pas du tout!

K l'ensemble triadique de Cantor http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor

1. Montrer que


sont des boréliens...

Pour , j'ai écrit où P est réunion dénombrable de pavés ouverts. ainsi est réunion dénombrables de boréliens => borélien!

2. Pour tout calculer
est (bien sûr) la mesure de Lebesque

[girdav]

Bonjour,
c'est quoi ? privé de ?
Pour et on se sert du fait que est dénombrable et que les singletons sont des boréliens.

[absolut-diabolik]

Oui R privé de K.
Je sais que Q est borélien mais R privé de Q reste quand même une réunion de singletons n'est ce pas?
Et que penser que K+ Q est ce que K est un borélien (peut être que oui parcve que c'est une réunion de pavés fermés)

Bonjour,
c'est quoi ? privé de ?
Pour et on se sert du fait que est dénombrable et que les singletons sont des boréliens.

[girdav]

Je sais que Q est borélien mais R privé de Q reste quand même une réunion de singletons n'est ce pas?

Oui, mais une union non dénombrable, donc on n'est pas sûr. Par contre, le complémentaire d'un borélien est encore un borélien.

Et que penser que K+ Q est ce que K est un borélien (peut être que oui parcve que c'est une réunion de pavés fermés)

On peut écrire que puis montrer que est un borélien, ce qui n'est pas difficile une fois que l'on a vu que en est un.

[absolut-diabolik]

Merci je viens de comprendre ! Mais juste une petite précision k est un borélien pour la raison que j'ai donné c'est bon ? (ensemble de pavés ouverts?).
Merci de ton aide

Oui, mais une union non dénombrable, donc on n'est pas sûr. Par contre, le complémentaire d'un borélien est encore un borélien.


On peut écrire que puis montrer que est un borélien, ce qui n'est pas difficile une fois que l'on a vu que en est un.

[girdav]

Qu'est-ce qu'un "pavé" de ? Intervalle ? Dans ce cas, c'est plus ou moins ça puisque l'on peut écrire comme une intersection dénombrable d'union d'intervalles fermés.

[absolut-diabolik]

Oui oui je parlais bien d'intervalles! Je pense avoir compris.
en ce qui concerne les intégrales.
J'ai réussi à faire la 2ème (la plus facile )
car Q est de mesure de Lebesgue nulle.

Les deux autres j'ai du malo déjà parce que de mon avis K est inclus dans Q. donc je n'arrive pas à identifier l'ensemble K+Q. Et de même avec A1, l'intersection avec [0,x] n'est pas évidente.

Qu'est-ce qu'un "pavé" de ? Intervalle ? Dans ce cas, c'est plus ou moins ça puisque l'on peut écrire comme une intersection dénombrable d'union d'intervalles fermés.

[girdav]

ne peut être inclus dans puisqu'il n'est pas dénombrable, mais par contre il est de mesure nulle, et c'est ça qu'il faudra exploiter.

[absolut-diabolik]

car K est de mesure de Lebesgue nulle.

C'est exactement la même chose que la 2ème alors ?

ne peut être inclus dans puisqu'il n'est pas dénombrable, mais par contre il est de mesure nulle, et c'est ça qu'il faudra exploiter.

[absolut-diabolik]

Mais je buggue totalement pour la 3ème.

[girdav]

Donne-toi une énumération des rationnels. , et chacun de ces ensembles est de mesure nulle.

[absolut-diabolik]

Mais c'est l'intersection avec [0,x] qui me pose problème. Comment identifier les élements de cet intervalle qui est dans K+Q?

Donne-toi une énumération des rationnels. , et chacun de ces ensembles est de mesure nulle.

[girdav]

Si on montre que est de mesure nulle, cet ensemble intersecté avec le sera à plus forte raison.