Lp espace inclusion

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nelloune
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Lp espace inclusion

par nelloune » 17 Jan 2020, 14:59

Bonjour,
Je dois résoudre un exercice qui me demande de montrer que:
Lp[0,1] C Lq[0,1] si 1
Je ne sais pas par où commencer , pourrais je avoir une aide pour le début.
Merci d'avance



tournesol
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Re: Lp espace inclusion

par tournesol » 17 Jan 2020, 18:22

compare X^q avec X^p

nelloune
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Re: Lp espace inclusion

par nelloune » 17 Jan 2020, 20:14

Voilà ce que j'ai fais pour démontrer Lp C Lq :

On a 1 Pour x on a :

||x||^q=

=







On enlève les racine de chaque cotés et l'on obtien ||x||q||x||p
On a donc Lp C Lq

tournesol
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Re: Lp espace inclusion

par tournesol » 18 Jan 2020, 10:07

A priori , cette rédac suppose la convergence de la série que l'on veut démontrer .
Il convient donc de préciser ceci:
Soit K l'ensemble des indices .
Dans les calculs qui suivent , k décrit une partie finie quelconque de K .
Suivent les calculs .
Enfin :
Soit x dans Lp ; la famille est sommable et donc bornée de sup M .
Donc pour toute partie finie de K ,
Donc la famille est sommable et donc appartient à Lq
On peut rédiger également en termes de séries .

tournesol
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Re: Lp espace inclusion

par tournesol » 18 Jan 2020, 10:11

Ligne 8 , le sup est à remplacer par

GaBuZoMeu
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Re: Lp espace inclusion

par GaBuZoMeu » 18 Jan 2020, 10:15

Les espaces sont des espaces de séries numériques ?

mathelot

Re: Lp espace inclusion

par mathelot » 18 Jan 2020, 10:17

Lp([0;1]), ce n'est pas un ensemble de (classes de) fonctions définies sur [0;1] ?

tournesol
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Re: Lp espace inclusion

par tournesol » 18 Jan 2020, 13:16

j'ai oublié tout cela .
je n'ai fait que suivre les calculs en supposant qu'il s'agissait de familles sommables .

tournesol
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Re: Lp espace inclusion

par tournesol » 18 Jan 2020, 14:11

De mémoire au risque de me tromper
lp(E) désigne l'ensemble des fonctions de puissance pième intégrable sur E .
Lp(E) désigne l'ensemble des classes d'equivalence de lp(E) modulo l'égalité des images presque partout .
Le fait que ce soit des séries ou des familles sommables ne pose aucun pb si on mesure l'ensemble des indices avec la mesure constante égale à 1 .
j'espère ne pas avoir dit trop de bétises .

GaBuZoMeu
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Re: Lp espace inclusion

par GaBuZoMeu » 18 Jan 2020, 14:46

Traditionnellement, les espaces , c'est pour les suites de nombres réels ou complexes de -norme finie.

tournesol
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Re: Lp espace inclusion

par tournesol » 18 Jan 2020, 21:02

est un espace mesurable .
On note la mesure Cardinal . Il n'y a pas dans ce cas de presque partout .
L'ensemble des fonctions de dans de puissance p ième -intégrable peut-il être appelée ?
si oui a-t-on alors lp= ?

 

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