équivalences, développement limité

[Etnamad]

Bonjour !

Il y a certains points de ce chapitre que je n'ai pas compris ! Je bosse avec le livre rouge maths ECE2. Pourriez-vous m'aider à y voir plus clair svp ?

Pour commencer, il y a un théorème qui dit : "un polynôme non nul est équivalent au voisinage de 0 à son monôme de plus bas degré. Pourtant dans chaque exo où on pourrait utiliser ce théorème, l'auteur le démontre ... Du coup est-ce que je peux utiliser ce théorème tel quel ou bien dois-je aussi à chaque fois justifier ?

Ensuite, pour déterminer une limite en 0+ et 0- suffit-il de déterminer la limite en 0 ? Ou bien cela dépend des cas ?

Et enfin dernière question, sur un exo HEC, il faut étudier la continuité en 1 de la fonction f(x)= (x+2)(x-1) / xln(x). Or dans la correction l'auteur explique que, étant donné que lim ln(x)/x-1 = 1, lorsque x tend vers 1, alors par produit de limites, on obtient lim f(x) = 3 = f(1)

Je suis peut-être fatigué, mais je ne vois absolument pas le rapport entre f(x) et ln(x)/x-1

Merci d'avance !

[pascal16]

dans sa tête : ln(x)/x-1 = 1 est en fait un développement limité de ln en x=1 : ln(x)=x-1 + o(x-1)
c'est bien x-1 qui tend vers 0.
(la forme habituelle est ln(1+y)=y+o(y), on remplace y par x+1)

donc la limite en 1 de (x-1) / ln(x) est 1

f(x)= (x+2)(x-1) / xln(x) = [ (x+2)/x ] * [ (x-1) / ln(x) ]

on est en x=1, tu vois le 3*1 ?

[Etnamad]

Merci pour ta réponse,

cela dit non je ne comprends pas du tout ... Déjà dans mon cours le développement limité de ln(1+u) = u - u²/2 + o(u²) et ce quand u tend vers 0...

[pascal16]

ln(1+u) = u - u²/2 + o(u²) et ce quand u tend vers 0.
donc, à l'odre 1 :
ln(1+u) = u +o(u) et ce quand u tend vers 0.

soit x= u+1
-> x tend vers 1
et u= x-1

ln(x) = x-1 +o(x-1)

donc limite quand x tends vers 1 de ln(x) /(x-1) = 1
ou limite quand x tends vers 1 de (x-1)/ ln(x) = 1

VARIANTE :
ln(1+u) = u +o(u) et ce quand u tend vers 0.
donc limite quand u tends vers 0 de ln(1+u) / u =1
puis x= u+1 donne
limite quand x tends vers 1 de ln(x) /(x-1) = 1
ou limite quand x tends vers 1 de (x-1)/ ln(x) = 1