équations différentielles à plusieurs variables

[guillaume100]

Bonsoir à tous,

Soient a et b des réels et h une fonction de classe C^1 de R^2 dans R telle que :

.

On suppose que h est bornée sur R^2. Montrer que h est nulle.

J'ai essayé d'intégrer les équations selon x et y mais je bloque, quelqu'un a une idée svp ?

[aviateur]

Bonjour
Soit h une telle solution.
Posons où c et d son 2 cstes qcq.

D'où où est une constante qui ne dépend que de c et d.
Mais les hypothèses font que K(c,d)=0, sinon h ne serait as bornée.

On a donc tex]f(s)=h(a s +c, b*s +d)=0[/tex] pour tout s, c, d. Finalement h est nulle

[guillaume100]

Merci beaucoup aviateur !

Je vais retenir la technique qui consiste à poser "une même fonction", mais qui a cependant ses variables qui dépendent d'un paramètre

[tournesol]

Très belle solution aviateur .
j'ai essayé d'intégrer l'équation et je bloque:
Si a et sont nuls , h est nulle .
Si a n'est pas nul et b nul on peut montrer que
Si a est nul et b non nul on peut montrer que
Si a et b sont non nuls , on a la solution jamais nulle
On peut donc utiliser la méthode de variation de la constante K .
Kf est solution ssi
PROBLÈME :cette équation est stable par produit , puissance non nulle , et même composition de fonction , donc inverse , quotient...quelles sont donc ses solutions ?
On a les constantes , la solution évidente bx -ay , mais aussi sin(bx - ay) , ?????????
Au secours les matheux !

[tournesol]

J'oubliais : je conjecture que avec g C1 de R dans R .

[aviateur]

Bonjour
La résolution explicite de l'équation permet aussi de retrouver le résultat.
Pour cela si h est solution , on pose où c est cste qcq.
Alors
Donc où K(c) dépend de bc=bx-ay.
Autrement dit nécessairement h(x,y) est de la forme où
L est une fonction de classe
En réinjectant cette expression de h dans l'équation que h est bien solution.

Par exemple si on prend L(u)=sin(u) on trouve comme solution h(x,y)=sin(b x-ay) e^{ \dfrac{y}{b}}

[tournesol]

Bonjour et merci pour ton aide .
Je ne comprends pas comment tu dérives
Pour moi , la dérivée de h(f(x) ,g(x)) est égale à

[tournesol]

Désolé , j'aurais été plus clair en prenant y comme variable mais ça ne change rien à mon pb .

[aviateur]

Rebonjour
Moi non plus je ne comprends ce que j'ai recopié , j'ai dû déconner. Je corrige donc. (c'est fait)

Merci d'avoir vérifier. L'idée est bonne bien sûr mais erreur corrigée, on a une famille bien plus grande de solutions.

Remarque si on prend on retrouve la solution

[tournesol]

Je ne comprends pas pourquoi K(c) dépend de bc , et pourquoi bc=bx-ay ?
Pour moi K dépend de c et de a/b .
De plus , tu ne retrouves pas ma solution

[aviateur]

Rebonjour
Il faut comprendre que est la restriction de h à la droite (D) d'équation bx -ay-c=0. Droite que j'ai paramétrée par y, i.e (x,y)\in (D) ssi (x,y)=(a/b y+ c,y).
La résolution de l'équation diff vérifiée par donne
la constante L dépend de (autrement dit c'est une fonction de L est nécessairement de classe
On a donc

Maintenant on remplace dans l'équation et on voit h(x,y) est bien solution.
J'ai donc obtenu toutes les solutions. Maintenant ta fonction exp[(x+y)/(a+b)/2] n'est pas solution.

Remarque: La forme générale des solutions que j'ai donnée n'est pas unique. Malheureusement j'ai cassée un peu la symétrie entre x et y. Alors on peut faire un effot pour montrer que la forme générale se met auusi sous la forme
Prendre L=cste =1 redonne h(x,y)= exp[(x+y)/(a+b)] comme solution particulière.

[tournesol]

Bonjour et merci à toi .
Je vais analyser tout cela .
Deux remarques préliminaires:
1)Tu écris : Maintenant ta fonction exp[(x+y)/(a+b)/2] n'est pas solution.
Ma fonction n'est pas exp[(x+y)/(a+b)/2] mais exp[x/(2a)+y/(2b)] , et elle est bien solution.
2)Ta fonction exp[(x+y)/(a+b)] est solution .
Je reviendrais vers toi en cas d'incompréhension ou lorsque ma synthèse sera terminée(variation de la constante comprise )
PS: On peut aussi éliminer les coefficients a et b des équations lorsqu'ils sont non nuls en étudiant h(ax,by) .

[aviateur]

Salut
J'avais mal lu. Oui ta fonction est bien une solution. Elle correspond à la fonction L
définie par (pour la première forme donnée)
A toute solution doit correspondre une fonction L de classe C1.

Pour la seconde forme que j'ai donné (dans mon dernier message) la fonction L c'est:

[tournesol]

Encore merci . Grace à toi j'ai tout compris .
En particulier que pour montrer qu'une solution h dépend de la variable g(x,y) , il suffit de paramétrer les lignes de niveau de g , par exemple (u(t),v(t)) , et de montrer que g(u(t),v(t)) est constante .