équations différentielles à deux variables

par **soumia22** » 05 Avr 2012, 20:22

Bonsoir:
j'ai des équations différentielles à deux variables:
x'=2+5x-5y
y'=4+5y+5x
je cherche à trouver la solution x et y ? aidez moi svp

par **Skullkid** » 05 Avr 2012, 20:28

Bonsoir, qu'as-tu essayé ?

par **soumia22** » 05 Avr 2012, 20:43

je n'arrive pas à séparer entre les deux inconnu, et de rendre x indépendance de y.

par **Skullkid** » 05 Avr 2012, 20:58

Normalement si on t'a donné ce système à résoudre c'est que tu as un cours sur les systèmes d'équations différentielles linéaires, il n'y a d'exemple de résolution dans ce cours ?

par **soumia22** » 05 Avr 2012, 21:05

je n'ai pas le cours ni l'exemple de résolution, cet équation reflète le comportement de moteur que je dois étudier

par **soumia22** » 05 Avr 2012, 21:13

x et y représentent les courants, j'ai trouver la solution ms numérique à l'aide de logiciel s'appelle MATLAB ms il me faut une solution analytique, as-tu un cours ou exemple?

par **Skullkid** » 05 Avr 2012, 21:54

Je n'ai pas de cours sous la main mais tu peux rechercher des trucs sur les équations différentielles matricielles linéaires du premier ordre (c'est ce que ton système est). Pour la résolution tu dois mettre le système sous forme matricielle (te ramener à une unique inconnue, le vecteur (x,y)) et savoir calculer des exponentielles matricielles.

Si tu as juste besoin d'une solution analytique et que la résolution elle-même ne t'intéresse pas, la solution est

avec K1 et K2 des constantes.

par **soumia22** » 05 Avr 2012, 22:03

merci pour ton aide

par **Black Jack** » 06 Avr 2012, 10:06

Une façon parmi d'autres :

x'=2+5x-5y (1)
y'=4+5y+5x (2)

(1) - (2) ---> x'-y' = -2-10y
On dérive (1) :
x" = 5x'-5y'
x" = 5(x-y')
x" = 5.(-2-10y)
x" = -10 - 50y

Or (1) --> 5y = 2+5x-x'

x" = -10 - 10(2+5x-x')
x" - 10x' + 50x = -30

Facile à résoudre ... (solutions avec 2 constantes réelles, L1 et L2)
*****
De manière analogue, on peut arriver à l'équation différentielle :
y" - 10y' + 50y = -10

Facile à résoudre ... (solutions avec 2 constantes réelles, L3 et L4)
*****
Mais les valeurs de L1 et L2 sont liées à celles de L3 et L4.
Pour trouver les relations entre L1,L2 et L3,L4, on remet les solutions trouvées dans une des équations de départ ...

Et on arrive aux solutions données par Skullkid
********

:zen:

par **soumia22** » 06 Avr 2012, 12:45

merci Black Jack d'avoir mexpliquer comment arriver à la solution donnée par Skullkid

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