équation (E1) uof=v d'inconnue f

[Supernova]

Salut!
J'ai besoin de votre aide à propos de la résolution de l'équation ci-dessus, en effet la question est: en supposant que Imv C Imu construire en choisissant une base de E adaptée à Imv une solution f0 de (E1)
avec: u appartient à L(F,E)
v appartient à L(G,E)
f appartient à L(G,F)
E,F,G trois IK-ev de dimension finie
franchement j'ai du mal à répondre à ce type de questions :s

[Nightmare]

Hello,

comment traduirais-tu l'hypothèse Im(v) inclus dans Im(u)?

[Supernova]

c'est une CN pour qu'il y est une solution

[Nightmare]

Non, ce que je te demande c'est une réécriture de l'hypothèse Im(v) inclus dans Im(u) que l'on pourrait utiliser de la démonstration.

Qu'est-ce que Im(v)? Qu'est-ce que Im(u)? Donc que signifie l'inclusion de l'un dans l'autre?

[Supernova]

cad pour tout x dans Imv , il existe y dans G tq u(y)=v(y)=x ???

[Nightmare]

Hum, comment obtiens-tu ça?

[Anonyme]

Piste de travail
Ecris la définition de Imu (u appartient à L(F,E))
Ecris la définition de Imv (v appartient à L(G,E))
Ecris ce que veut dire Imv C Imu

[Supernova]

Oups!
x appartient à Imu cad il existe y dans F tq u(y)=x
x appartient à Imv cad il existe z dans G tq v(z)=x
Imv C Tmu cad pour tout x dans Imv , x appartient à Imu cad il existe (y,z)£ FxG tq x=u(y)=v(z)

c correct maintenant??

[Nightmare]

Oui, là c'est ok.

Donc en résumé, tout élément de la forme v(x) admet un antécédent par u. Quel rapport avec la fonction f0 que l'on souhaiterait avoir?

[Supernova]

on cherche f0(x) qui soit cet antécédent de v(x)

[Nightmare]

Tout à fait. Mais a priori, u n'est pas un isomorphisme donc v(x) n'a aucune raison d'avoir un unique antécédent.

On a une condition en plus qu'il ne faut pas oublier dans notre réflexion : f0 doit être linéaire.

[Supernova]

Attends! d'après ce qu'on a conclut, pour tout x £ Imv, il existe y £ F tq u(y)=x
on va prendre f0:E--->F
x----->y


qu'est ce que vous en pensez?

[Nightmare]

Regarde mon post précédent. Le choix de y sans autres suppositions déjà n'est pas forcément loisible, il nous faut l'axiome du choix. Ca à la limite, on peut se passer de le dire si on en a jamais entendu parler.

Le plus gros problème qui se pose à nous, c'est qu'on veut que f0 soit linéaire. Pour ça, relis ton énoncé, il nous donne une indication.

[Supernova]

on doit choisir une base adapltée, mais quelle est cette base?

[Nightmare]

On a pas besoin de se préoccuper de ce qu'on met dans la base, on a juste besoin de dire qu'on prend une base de E qui complète une base de Im(v).

Plus précisément, l'inclusion de Im(v) dans Im(u) permet de compléter une base de Im(v) en une base de Im(u). Puis on complète le tout en une base de E.

Au final, on aura écrit que . Essaye de travailler avec ça.

[Supernova]

regarde, je l'ai fait par une autre méthode mais je n'en suis pas sure:
en fait, l'application v':U --> Im(v) où U + Ker(v) = E (somme directe)
x --> v(x)
est un isomorphisme.
soit x dans G, il existe un unique (x1,x2) £ U x Ker(v) tq x = x1 + x2
on a v(x) = v(x1) = y
comme y £ Im(v) C Im(u) alors il existe x' £ F tq y = u(x') = v(x1) = v(x)
on définit f_0:G-->F
x = x1 +x2 --> x' avec x dans U et x2 dans Kerv


Est-ce juste?

[Nightmare]

Oui ça marche très bien aussi et c'est la preuve "classique" de la factorisation des applications linéaires, mais ça ne suit pas vraiment l'indication de ton énoncé, c'est pour cela que je t'ai proposé de partir sur autre chose.

[Supernova]

mais j'ai utilisé la décomposition de E en U et Kerv, ça ne répond pas à l'indication?