Donc si je comprends bien ce que tu me dis, il faut faire ce qui suit:
J'ai donc
On a donc au rang p+1,
Or si on divise de part et d'autre par
Et donc par simplification on a:
Or
C'est juste?
Equation trigonométrique et récurrence
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par MrBrightside » 09 Sep 2012, 15:08
Salut Luc, merci de venir de nouveau à mon secours!
Donc si je comprends bien ce que tu me dis, il faut faire ce qui suit:
J'ai donc \geq \bigsum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!})
On a donc au rang p+1, \geq \bigsum_{k=0}^{p+1} \frac{x^{p+1}}{k!})
Or si on divise de part et d'autre par
, on obtient: }{x^p} \geq \bigsum_{k=0}^{p+1} \frac{x^{p+1}}{x^p*k(p+1)!})
Et donc par simplification on a:}{x^p} \geq \bigsum_{k=0}^{p+1} \frac{x}{(p+1)!})
Or!} = + \infty)
, on en déduit donc par comparaison que }{e^x} = + \infty)
C'est juste?
Donc si je comprends bien ce que tu me dis, il faut faire ce qui suit:
J'ai donc
On a donc au rang p+1,
Or si on divise de part et d'autre par
Et donc par simplification on a:
Or
C'est juste?
par Kikoo <3 Bieber » 09 Sep 2012, 15:14
Re,
J'ai aucune piste mais je peux te dire là où ton raisonnement bloque :
Tes sommes sont indicées par la variable muette k, et non p.
La manière dont tu divise des deux côtés par est fausse, car les 
varient quand k va de 0 à p+1, tandis que p est fixe.
J'ai aucune piste mais je peux te dire là où ton raisonnement bloque :
Tes sommes sont indicées par la variable muette k, et non p.
La manière dont tu divise des deux côtés par
par Luc » 09 Sep 2012, 16:29
Tu as la bonne idée mais il ne faut pas s'embrouiller avec les indices ^^.
Non on a \geq \bigsum_{k=0}^{p+1} \frac{x^{k}}{k!})
ce qui est très différent.
Pareil, on a plutôt}{x^p} \geq \bigsum_{k=0}^{p+1} \frac{x^{k}}{x^p*k!})
.
A partir de la lidée est de ne garder que le terme intéressant en k=p+1 qui donne de l'information en l'infini. Le reste est positif donc tu le minores par 0.
Pareil, c'est plutôt}{x^p} \geq \bigsum_{k=0}^{p+1} \frac{x^{k-p}}{k!})
Ça c'est juste. Miraculeux comme les erreurs de calcul successives s'annulent, non? ^^
MrBrightside a écrit:Salut Luc, merci de venir de nouveau à mon secours!
Donc si je comprends bien ce que tu me dis, il faut faire ce qui suit:
J'ai donc
On a donc au rang p+1,
Non on a
MrBrightside a écrit:Or si on divise de part et d'autre par
Pareil, on a plutôt
A partir de la lidée est de ne garder que le terme intéressant en k=p+1 qui donne de l'information en l'infini. Le reste est positif donc tu le minores par 0.
MrBrightside a écrit:Et donc par simplification on a:
Pareil, c'est plutôt
MrBrightside a écrit:Or
C'est juste?
Ça c'est juste. Miraculeux comme les erreurs de calcul successives s'annulent, non? ^^
par MrBrightside » 09 Sep 2012, 16:34
Le reste est positif donc tu le minores par 0.
Je ne parviens pas à comprendre cette partie de ton explication. Qu'est ce que ça signifie exactement?
par Luc » 09 Sep 2012, 16:38
MrBrightside a écrit:Je ne parviens pas à comprendre cette partie de ton explication. Qu'est ce que ça signifie exactement?
Minorer un nombre réel
Les techniques de minoration et de majoration sont essentielles pour établir des inégalités.
"Le reste" désigne les autres termes de la somme.
par Kikoo <3 Bieber » 09 Sep 2012, 16:40
MrBrightside a écrit:Je ne parviens pas à comprendre cette partie de ton explication. Qu'est ce que ça signifie exactement?
Je suis pas sûr, c'est ce qu'on appelle minoration grossière n'est-ce pas Luc ?
Pour le reste, c'est intéressant. Je prends note car j'aurais pas su cheminer ainsi
par MrBrightside » 09 Sep 2012, 16:53
J'ai du mal à comprendre quoi faire exactement.
J'ai donc à la base, comme montré dans la question 1: \geq \bigsum_{k=0}^{p+1} \frac{x^k}{k!})
Ensuite, si je comprends bien ce que tu me dis, par minoration par 0, ça me fait \geq \frac{x^k}{k!})
C'est comme ça qu'il faut faire?
Ensuite je divise de part et d'autre par, je calcule la limite et c'est bon?
J'ai donc à la base, comme montré dans la question 1:
Ensuite, si je comprends bien ce que tu me dis, par minoration par 0, ça me fait
C'est comme ça qu'il faut faire?
Ensuite je divise de part et d'autre par
par Luc » 09 Sep 2012, 16:57
MrBrightside a écrit:J'ai du mal à comprendre quoi faire exactement.
J'ai donc à la base, comme montré dans la question 1:
Oui.
MrBrightside a écrit:Ensuite, si je comprends bien ce que tu me dis, par minoration par 0
Quel réel minores-tu par 0?
MrBrightside a écrit:ça me fait
C'est quoi k?
par barbu23 » 09 Sep 2012, 17:01
Bonjour, :happy3:
Voici la méthode générale, qui permet de résoudre ton premier exercice :
Résoudre : + b \sin ( x ) = c $)
En effet : + b \sin (x) = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \Big( \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \cos ( x) + \frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \sin (x) \Big) $)
Remarquons que :
et
Donc, il existe,
, tel que :  $)
et  $)
Par conséquent : + b \sin (x) = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \Big( \cos ( \alpha_0 ) \cos ( x) + \sin( \alpha_{0} ) \sin (x) \Big) = \sqrt{a^{2}+b^{2}} \cos ( x - \alpha_{0} ) $)
Essaye d'appliquer, maintenant, cette explication à ton exercice. :happy3:
Pour le deuxième exercice :
Tu poses : = e^x - \Big( \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{x^{k}}{k!} \Big) $)
Et tu montres, par récurrence, que
:  \geq 0 $)
Voici la méthode générale, qui permet de résoudre ton premier exercice :
Résoudre :
En effet :
Remarquons que :
Donc, il existe,
Par conséquent :
Essaye d'appliquer, maintenant, cette explication à ton exercice. :happy3:
Pour le deuxième exercice :
Tu poses :
Et tu montres, par récurrence, que
par MrBrightside » 09 Sep 2012, 17:04
Alors le réel que je minore par 0 est: 
Ce qui fait qu'il me reste: \geq \frac{x^{p+1}}{(p+1)!})
C'est mieux là?
@barbu23: Merci mais j'ai déjà résolu mon exercice, mais ta méthode a l'air relativement différente de celle qui m'a été donnée précédemment. Je l'examinerai donc quand j'aurai fini le reste de mon travail. :we:
Ce qui fait qu'il me reste:
C'est mieux là?
@barbu23: Merci mais j'ai déjà résolu mon exercice, mais ta méthode a l'air relativement différente de celle qui m'a été donnée précédemment. Je l'examinerai donc quand j'aurai fini le reste de mon travail. :we:
par Luc » 09 Sep 2012, 17:12
MrBrightside a écrit:Alors le réel que je minore par 0 est:
Ce qui fait qu'il me reste:
C'est mieux là?
Beaucoup mieux. Donc comment conclus-tu?
par MrBrightside » 09 Sep 2012, 17:17
Et bien je fais la limite lorsque x tend vers +l'infini du membre de droite. Puisque p+1! est un réel, je vais trouver que la limite de \frac{x^{p+1}}{p+1!} lorsque x tend vers +infini est +infini. Et par comparaison j'en déduis que le membre de gauche tend également vers +infini.
@barbu23: j'ai vu ton édition, et je te remercie encore simplement pour le fait que tu aies voulu m'aider, malheureusement tu arrives après la bataille si je puis dire. Les questions de mon premier post ont déjà été traitées, et là Luc m'aide à en résoudre une que j'ai posté un peu plus bas. :euh:
@barbu23: j'ai vu ton édition, et je te remercie encore simplement pour le fait que tu aies voulu m'aider, malheureusement tu arrives après la bataille si je puis dire. Les questions de mon premier post ont déjà été traitées, et là Luc m'aide à en résoudre une que j'ai posté un peu plus bas. :euh:
par Luc » 09 Sep 2012, 17:18
MrBrightside a écrit:Et bien je fais la limite lorsque x tend vers +l'infini du membre de droite. Puisque p+1! est un réel, je vais trouver que la limite delorsque x tend vers +infini est +infini. Et par comparaison j'en déduis que le membre de gauche tend également vers +infini.
C'est correct!
par MrBrightside » 09 Sep 2012, 17:22
Ouf, merci beaucoup. :dodo:
Je vais m'arrêter là pour aujourd'hui, mais demain je reviens à la charge pour finir les exercices de mon DM qui m'ont l'air tout simplement impossible. :ptdr:
Merci à vous 3 pour votre aide précieuse, passez une bonne soirée/nuit et à bientôt. :)
Je vais m'arrêter là pour aujourd'hui, mais demain je reviens à la charge pour finir les exercices de mon DM qui m'ont l'air tout simplement impossible. :ptdr:
Merci à vous 3 pour votre aide précieuse, passez une bonne soirée/nuit et à bientôt. :)
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