Equation trigonométrique et récurrence

[MrBrightside]

Bonjour à tous!

Quoi de mieux que quelques exercices de math pour passer un Week-end enchanteur? :marteau:

Seulement voilà, après quelques exercices passés avec légèreté, me voilà bloqué tel le petit oiseau en cage face aux difficultés que me posent certains exercices. J'en viens donc à solliciter votre aide, si toutefois vous le voulez bien. :we:


Exercice 2 :

[FONT=Comic Sans MS]On cherche à résoudre l'équation d'inconnue x réelle (E):

1. Rappeler la formule cos (a+b).[/FONT]

Bon alors pour cette première question, pas vraiment de difficulté. Il s'agit bien sûr de:
[FONT=Comic Sans MS]
2. Trouver et tels que [/FONT]

Ici ça me complique déjà beaucoup plus la tache. Voici mot pour mot et chiffre pour chiffre ce que j'ai fait:




Par analogie avec l'égalité , on a:

et

On en déduit que: et

Et à partir de là je ne vois pas trop comment me débrouiller pour dégager et R. J'ai essayé de faire un système mais je bloque vite. Suis-je sur la bonne voie?
[FONT=Comic Sans MS]
3. Résoudre (E).[/FONT]

Bon ben celle là je ne peux pas la faire pour l'instant du coup....


Exercice 3 :

[FONT=Comic Sans MS]1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n,[/FONT]

+, exp(x)

[FONT=Comic Sans MS](Cette inégalité s'écrit pour n=0 et pour n=1)[/FONT]

Alors pour cette récurrence là, je reconnais bloquer un peu, et ce même pour l'initialisation. Donc si quelqu'un pouvait m'aider au moins à me lancer... :mur:


Voilà pour le moment, merci pour votre aide! :help:


PS: j'ai essayé d'être le plus clair et le plus lisible possible pour distinguer les énoncés de mes réponses, si vous avez des remarques à faire concernant ce point, n'hésitez pas afin que je vous facilite la tâche.

[SaintAmand]

1. Rappeler la formule cos (a+b).
Il s'agit bien sûr de:

Perdu ! Cela ira peut-être mieux avec la bonne formule.

[Kikoo <3 Bieber]

Ha, celle-ci c'est celle de sin(a+b)

[MrBrightside]

Bon sang, quelle andouille. :ptdr:

Et dire que je suis en MPSI... Ça fait belle impression. :dodo:

Bref, j'ai corrigé, merci. Mais cela n'a pas changé grand chose à mon problème, je me retrouve toujours à un point similaire.


Edit: En posant un système j'obtiens et . Donc à partir de là j'ai pu en déduire grâce à ma super calculatrice que R=2 et mais je ne sais pas comment le montrer.

[Kikoo <3 Bieber]

Ben MPSI ou pas, ça arrive de faire des erreurs ^^
Tu divises par R et tu essaies de voir si tu peux identifier avec des valeurs remarquables !

[Kikoo <3 Bieber]

Au fait, c'est tout n entier naturel il me semble.

Puis pour l'initialisation, tu essaies de montrer que :

est vraie au rang

[MrBrightside]

cf mon dernier message édité: ce que j'ai fait est juste et pour conclure j'ai juste à dire qu'on peut voir des valeurs remarquables? Et j'en déduis directement que et que R=2 ?
Je sais ô combien la rédaction est importante donc j'aimerais le faire bien. ^^

[Kikoo <3 Bieber]

ben si tu veux bien rédiger, tu te sers de cos²(a)+sin²(a)=1 et puis tu trouves que R=2 et tu trouves a :)

[MrBrightside]

Ha oui, pas bête... Faut que certains réflexes reviennent dis donc, va falloir réviser toutes les formules. :hum:

Merci pour ton aide, c'est bon pour l'exercice2.


Pour l'initialisation de l'exercice 3, tu as mis ceci: . Ce ne serait pas plutôt ça?

[Kikoo <3 Bieber]

Certes, j'ai oublié l'exposant ;)

Bon, l'égalité est évidente au rang 0. Après, que fais-tu ?

[MrBrightside]

Et le k ne part pas de 0 aussi au fait? Car c'est pour tout x de R+, pas de R*+?

Dans l'énoncé il est bien précisé "(Cette inégalité s'écrit pour n=0 et pour n=1)", donc en fait l'initialisation est déjà faite non?

Après, je dois passer à l'hérédité, je dois donc supposer que l'inégalité est vraie à un certain rang n et montrer qu'elle est vraie au rang n+1 je subodore?

[Kikoo <3 Bieber]

Roooh oui, on part de 0 (tu vois j'y arrive pas aujourd'hui moi non plus !).

Bref, je connais une technique à rendre jaloux tous tes camarades : intègre l'inégalité en ayant supposé qu'elle est vraie à un certain n supérieur au rang premier.

Edit : c'est pour x et n positifs au sens large

Edit 2 : j'ai re-rectifié l'autre post.

[MrBrightside]

Mon Dieu, une intégration... :ptdr:

Bon j'espère que j'ai bien compris et que c'est bon. Est-ce ceci?

[Kikoo <3 Bieber]

Nein !
trouve une primitive du monome : pour voir

[MrBrightside]

C'est bien ça?


Edit: je crois avoir trouvé ma faute, j'ai édité mon précédent post.

[Kikoo <3 Bieber]

Yup :D

Donc tu réécris la somme, tu conclus l'hérédité et la récurrence !

[MrBrightside]

Ha oui... C'est vachement astucieux! :ptdr:

Il y'a une dernière question:

2. En déduire que pour tout entier naturel p,

Mais je vais essayer de la faire tout seul, si tu peux venir actualiser la page d'ici une dizaine de minutes le temps que je cherche pour voir si mes recherches ont été fructueuse ou non ce serait sympa.


En tous cas merci beaucoup pour les questions précédentes! :king2:


Edit: Je me suis trompé en recopiant l'énoncé, il est marqué que x tend vers l'infini et non vers +infini... Je ne sais pas si c'est une erreur ou non...

Edit2: Comme il fallait s'y attendre, je ne m'en sors pas. Je suppose que je dois prendre l'inégalité de départ puis diviser de chaque côté par ,afin d'utiliser finalemenntle théorème des gendarmes mais ça m'a l'air d'aboutir à quelque chose de peu concluant...

[Kikoo <3 Bieber]

Je sors de table.

C'est vrai que celui-ci est déjà plus difficile... J'y réfléchis (si j'ai le temps, entre la chimie, la physique, la SI et les quelques pages de maths à réviser !)

[MrBrightside]

Ça marche, c'est déjà gentil d'y penser! :we:

[Luc]

Salut,

2. En déduire que pour tout entier naturel p,

Edit: Je me suis trompé en recopiant l'énoncé, il est marqué que x tend vers l'infini et non vers +infini... Je ne sais pas si c'est une erreur ou non...

Il est sous-entendu que x tend vers + l'infini. Disons que c'est une petite coquille dans l’énoncé.

Edit2: Comme il fallait s'y attendre, je ne m'en sors pas. Je suppose que je dois prendre l'inégalité de départ puis diviser de chaque côté par ,afin d'utiliser finalemenntle théorème des gendarmes mais ça m'a l'air d'aboutir à quelque chose de peu concluant...

Tu as exactement la bonne idée! En revanche le théorème des gendarmes (on dit théorème d'encadrement) ne te servira pas ici puisque tu ne veux pas montrer une convergence, mais juste une limite infinie. Il n'y a donc besoin que d'une minoration de par quelque chose qui tend vers + l'infini en l'infini. Il suffit de bien choisir n par rapport a p. (est-il suffisant de prendre n=p? Et si tu prends n=p+1?)