Equation presque polynomiale

[Lengoda]

Bonjour à tous, dans le cas d'un problème de probabilités, je suis amené à résoudre cette équation en fonction de j variable entière et n entier fixé :
.
Prenons un cas concret pour n=4, l'équation devient

Et je n'arrive pas à résoudre ce type d'équations... Merci de votre aide.

[zygomatique]

salut

0/ c'est une inéquation ....

1/ l'inéquation peut se simplifier pas mal quand on sait que 4 = 2 * 2

2/ a/b > 1/2 <=> 2a - b > 0.

3/ utiliser alors un tableur .... mais pour des grandes valeurs de n les puissances risquent d'exploser rapidement ....

4/ nous donner l'énoncé exact pour éventuellement proposer une solution alternative ....

[Lengoda]

On parle bien d'inéquation, tu as raison (même si la fonction étant strictement croissante, résoudre >= ou = revient au même). Mais faire passer le 1/2 de l'autre côté, merci pour cette avancée
Quant à l'énoncé original, le voici :
Un professeur distribue des DVD à ses n élèves de la manière suivante : chaque jour, il donne un DVD à un élève choisi aléatoirement (1/n) ; un même élève peut recevoir plusieurs DVDs au fil des jours. Quel est le nombre minimum de jours j pour que la probabilité que tous les élèves aient reçu au moins un DVD soit d'au moins 1/2 ?".

[Doraki]

Est-ce qu'on t'a parlé de chaînes de Markov dans ton cours ?

[Lengoda]

Je me suis renseigné et ce problème est celui du collectionneur de vignettes, on peut trouver facilement un equivalent de ce nombre mais jusque là personne n'a réussi a exprimer la probabilité exacte. Ce problème me semble donc malheureusement sans solution proprement analytique.

[Doraki]

J'avais pas regardé en détail, mais en effet je retombe sur ta question initiale quand je calcule la proba de collectionner les n coupons en j jours, du coup ben ... j'ai rien à dire en fait. Tu as calculé la valeur j(n) pour que Pn(j(n)) = 1/2 pour quelques valeurs de n ou pas du tout ?

[Lengoda]

Oui, je l'ai programmé pour avoir les premières valeurs et j'ai trouvé la suite A073593 de l'oeis. En utilisant l'approximation , je trouve une suite qui lui est très proche (égale à partir d'un certain rang et leur différence est d'au plus 1), cependant impossible de résoudre la probabilité >= 1/2 de manière analitique purement, c'est bien dommage.
Dans ma question initiale, on peut remplacer la somme dans le calcul de probabilité par les nombres de Stirling du second ordre, mais là dessus je n'ai pas non plus réussi à trouver un moyen de clarifier les expressions.

[Doraki]

Avec des approximations aux bons endroits je trouve effectivement n(log n - log(log 2)) comme "comportement vraisemblable" quand n -> l'infini (et plus généralement, n*(log n-log(-log p)) si on veut une proba >= p)

C'est possible qu'on puisse le démontrer si les approximations sont suffisemment bonnes.

[Doraki]

Dans https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_co ... 7s_problem

ils mentionnent un résultat qui dit que P(T < n(logn + c)) -> exp(-exp(-c)), ce qui devrait quasiment impliquer le résultat

[Lengoda]

Oui en effet c'est de cette formule que vient l'approximation asymptotique.

[Ben314]

Salut,
je sais pas si ça peut aider ici, mais on arrive assez bien à estimer la loi donnant le nombre d'éléments différents tirés (avec remise bien sûr) N fois dans une urne contenant B boules (avec N et B "grand").
L'astuce, c'est de dire que ce nombre X, c'est la somme de B Bernoulli Xi correspondant au fait qu'on a ou pas tiré la boule de numéro i.
Ça permet d'avoir très rapidement l'espérance de X et, modulo un tout petit peu plus de calcul (pour déterminer les loi conjointes des couples (Xi,Xj)) on a aussi l'écart type.
De même on peut évaluer les moment d'ordre 3 ou plus (mais je suis pas sûr qu'il y ait une formule générale).
Je me rappelle plus des résultats, mais uniquement du fait, qui peut sembler un peu étonnant, que, si N et B tendent vers l'infini avec N/B qui reste constant, alors la variance de X/B (=proportion, de boules tirées) tend vers 0.
J'avais fortement conjecturé que, une fois centrée réduite, ça tendait vers une loi normale (comme toujours...) mais j'ai pas fini de le montrer...