Equation d'inconnue z

[Benk]

Bonjour, voici un exercice où je rencontre un petit problème au niveau de la compréhension de l'énoncé, et donc pour la résolution du 1)

" Résolution de l'équation d'inconnue z: (E) (p et q réels)

On sera amenés à untiliser le résultat suivant: (S,P,z',z'' désignant deux complexes)

z' et z'' solutions (éventuellement confondues) de l'équation

On note une solution de (E)

Soit u et v 2 complexes vérifiant

1) Montrer que et sont solutions de l'équation (E'): "

Avouez qu'il y a plus clair comme énoncé, et je me demande meme s'il n'y a pas des erreurs..

[mathelot]

bonsoir,

c'est la méthode de résolution des équations de degré 3 de Jérome Cardan .



on pose d'abord x=z+k avec k bien choisi pour que le terme
de degré 2 soit nul.

on pose ensuite:
z=u+v

On remplace dans l'équation
L'idée est de trouver une condition suffisante pour obtenir une solution
de l'équation.

on développe
on factorise partiellement u+v
on se débrouille pour tout annuler, ce qui donne une condition sur
la somme et sur le produit
donc le produit

en élevant au cube uv, on introduit des solutions parasites
avec des facteurs et

remarque: cette méthode est "pipo" à mon avis (malgré l'ingéniosité de Cardan) car dans les mauvais cas, les solutions
de l'équation de degré 2 sont obtenues sous forme cartésienne.

On doit alors diviser l'argument de par 3 pour obtenir l'argument de la racine cubique donc un truc du style , genre de formule pas franchement algébrique.