équation différentielle non linéaire

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de résoudre une équation différentielle non linéaire, mais je suis bloqué.

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Je dois résoudre l'équation :

--

Comme le domaine d'arrivée des fonctions n'est pas précisé, je me suis borné aux fonctions à valeurs réelles (parce que les complexes commencent vraiment à me les casser graves ! désolé pour la vulgarité)


-Ce que j'ai fait :

Je me suis donné une fonction f à valeurs réelles. Je l'ai supposé solution de l'équation différentielle (et donc elle est dérivable).


J'ai introduit la fonction qui a tout réel x associe

g est dérivable et pour tout x dans R g'(x)=2f(x)f'(x)

Du coup j'ai remarqué que g est solution de l'équation différentielle (E') :

J'ai déterminé les solutions de (E') sur et sur
Elles sont de la forme ,

Du coup je dispose de et de dans R tels que pour tout réels x non nul :

si x0


Là j'ai un problème

Bon, g s'écrirait comme ça et donc g admet une limite finie en qui est -1 et une limite finie en qui est -1

Or g est toujours positive !! Il y a un truc qui cloche !

Est-ce que je dois me résigner à chercher les solutions dans les fonctions à valeurs complexes ? Ou j'ai dû me tromper à un endroit (ce que j'espère) ?

Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses
(et encore désolé pour la vulgarité, mais j'ai la tête qui commence à exploser)

[zygomatique]

salut

avec c constante réelle

...

[Robic]

zygomatique : tu obtiens donc y² = c/x - 1, c'est ce qu'avait trouvé jonses et ça ne répond pas à sa question...

J'ai refait le calcul de jonses en essayant de bien tenir compte de tous les cas, j'obtiens les mêmes solutions. Si c'est juste, ça suggère que les solutions de l'équation de départ n'existent que dans un domaine fini (celui où g reste positive). Si on connaît une donnée initiale, on peut connaître la constante, et donc le domaine (x doit appartenir à [c1;0[ U ]0;c2], où c1 est la constante pour les x négatifs, et c2 celle pour les x positifs). Ça peut paraître bizarre, mais après tout ce sont des choses qui arrivent avec les fonctions définies à partir de racines carrées.

Mais je ne suis pas sûr de moi...

[zygomatique]

avec c constante réelle

c ne peut être nulle ....

ensuite il faut considérer les intervalles ]-oo, 0[ et ]0, +oo[

on peut alors diviser par x et

si x = 0 x >= c donc c = 0 alors c/x - 1 >= 0 x = 0

donc toute solution est définie soit sur un intervalle du type [c, 0[ soit sur un intervalle du type ]0, c]

et on ne peut pas recoller en 0 ....