Equation différentielle linéaire

[Maths-ForumR]

Bonjour,
Voila je bloque sur la résolution de cette EDL2 :
(E):y"+2y'+=0 avec b un réel

Voila le début de ma réponse :
(EC) : r²+2r+1-b=0 (r+1)² - b =0

Pouvez vous m'aider
Merci d'avance !

[zygomatique]

salut

avec -1 est racine double de (r+1)²

... super ...

il serait bien de discuter suivant le signe de b des solutions de l'équation (r + 1)^2 - b = 0

(solutions réelles ou complexes)

...

[Maths-ForumR]

On cherche des solutions à valeurs réelles

Si b>0 on a (r + 1)^2 = b
Si b<0 on a (r + 1)^2 = -b impossible

[zygomatique]

certes .... mais à partir de solutions complexes de l'équation caractéristique on trouve des solutions réelles ....

révise ton cours sur les équations linéaires du second ordre ...

[Maths-ForumR]

Si b>0 on a (r + 1)^2 = b
Solution de la forme (at+c)e^rot


Si b<0 on a (r + 1)^2 = -b de la forme (x+ou-iw)
Solution de la forme ex^t (A cos(w)+B Sin(w))

Mais je ne comprend pas comment trouver les racines car ça dépend de b

[zygomatique]

étudier le cas b = 0 ...

supposons b > 0 et posons

les solutions de l'EC sont u = (-1 + r)/2 et v = (-1 - r)/2

les solutions de l'ED sont avec p et q réels ...

écris alors que y(0) = 0 et y'(0) = 1

REM : avec l'Ed ont en déduit que y"(0) = -2y'(0) = -2

on a donc une troisième équation ....


supposons b < 0 et posons

.... puis même raisonnement ....

[Maths-ForumR]

Mon résultat est il correcte ?

[zygomatique]

voir cours dans le cas d'une solution double de l'EC ...

[Maths-ForumR]

Je trouve x=1, et z=0 avec les conditions initiales

[zygomatique]

donc ce cas est réglé ....

[Maths-ForumR]

Donc ensuite

Si b > 0 on pose b=r²
Donc (r+1)² - b =0
(r+1)² - r² =0
2r+1 = 0
r = -1/2 je ne comprend pas comment vous trouvez : "les solutions de l'EC sont u = (-1 + r)/2 et v = (-1 - r)/2"

[zygomatique]

ne vois-tu pas qu'il y a un pb d'r !!!

pose

...

[Maths-ForumR]

Si b > 0 on pose b=w²
Donc (r+1)² - b =0
(r+1)² - w² =0
(r+1)² = w²
w = r+1 ou w=-r-1

[zygomatique]

c'est r l'inconnue ....

[Maths-ForumR]

Donc
y(t) = Ae^r1t + Be^r2t = 0 A.e^[(-1+w)t] + B.e^[(-1-w)t] = 0
y'(t) = r1.A.e^r1t + r2.B.e^r2t = 1 (-1+w).A.e^[(-1+w)t] + (-1-w).B.e^[(-1-w)t] = 1

[zygomatique]

ok ... donc peut-on répondre à la question posée ?


puis ensuite traiter le cas complexe de la même façon ....

[Maths-ForumR]

Je n'arrive pas a trouver A et B avec le systeme d’équation donné y(t) et y'(t) existe -il des solutions réelles ?

[Maths-ForumR]

Pour le cas complexe :

Si b r1=-1+iw et r2=-1-iw

Solution de la forme : e^(-t) . [A cos (wt) + b sin (wt)]

[zygomatique]

Je n'arrive pas a trouver A et B avec le systeme d’équation donné y(t) et y'(t) existe -il des solutions réelles ?

mais t = 0 !!!

:zen:

[Maths-ForumR]

Oui j'ai mis t=0mais je trouve
B=1+2w
A=-B=-1-2w
Cela vous semble t-il juste ?

Et pour le cas b<0
Ma réponse est elle convenable ?