équation aux différence finies d'ordre 1!

[Anonyme]

bonsoir à tous.
le prof nous a donné un probleme de math a faire pendant les vacanes.
je l'ai presque fini suaf deux question. voila le sujet:
on appelle équation aux différence finies d'ordre 1 tout équation en f de la forme (E.s(x)) f(x+1)-f(x)=s(x) pour tout x de R. oû f et s sont des fonctions,avec s connue et f inconnue.
on appelle fonction 1-périodique toute fonction réelle g de la variable réelle x telle que (E.0) g(x+1)-g(x)=0 pour tout x de R. on note P(1) l'ensemble des fonctions 1-péridique.
1)si f1 et f2 sont solutions de (E.s) j'ai montré que g=f1-f2 et périodique. donc les solution générales de (E.s) s'obtient en connaisnat une solution particuliere de (E.s) et l'ensemble de P(1).
ensuite j'ai démontré que pour K>=1 K entier f(x+K)-f(x)=sigma(m=0..(K-1)) de s(x+m) lorsque f est solution de (E,s).

on considere ensuite les conditions (A) et (B):
(A): il existe une solution f de (E,s) pour laquelle la limite L=limf(x) pour x tendant vers +oo est définie dans R.
(B) la série sigma(m=0..+oo)s(x+m) converge pour tout x de R.

je dois montrer que (A)=>(B) et que (B) n'implique pas en général (A).
vu que je suis en 1ere année MPSI, et vu que les séries font partie du programme de spé, j'ai du mal à résoudre cette question.(Pouvez vous m'aider??)
une qutre question;
Montrer que si la condition (B) est satisfaite alors la fonction fo(x)=-sigma(m=0..+oo)s(x+m) est solution de (E.s).sous cette hypothèse donner la forme générale des solutions de (E.s).
4)Soit k>0 préciser les solutions de (E,s) lorsque s(x)=exp(-k*x).
determiner si elles existent les solutions de (E,s) vérifiant (A).

j'ai toujours du mal à trouvé la FORME GénéRALE DES SOLUTIONS DE (E,s)!!

merci pour votre aide

[Anonyme]

alors personne pour me donner un petit coup de pouce

[thomasg]

Bonjour,

tout d'abord deux remarques:
1) A la question 1 tu as montré que f1-f2 était 1-périodique.
2) On dit qu'une série est convergente lorsque sa limite en +inf est finie.

Pour A implique B:
on sait que il existe une fonction f solution, donc telle que
f(x+K)-f(x)=sigma(m=0..(K-1)) de s(x+m)
et que cette fonction a pour limite L en +inf
donc lim (K tend vers +inf) de f(x+K)-f(x)=L-f(x)
donc lim (K tend vers +inf) sigma(m=0..(K-1)) de s(x+m)=L-f(x), donc B

Pour prouver que B n'implique pas A, On va prendre un contre exemple.
Pour (E.0), B est vérifiée, et toute fonction 1-périodique non constante est solution de (E.0), et n'admet pas de limite en +inf, donc A est fausse.

Montrer que si la condition (B) est satisfaite alors la fonction fo(x)=-sigma(m=0..+oo)s(x+m) est solution de (E.s).sous cette hypothèse donner la forme générale des solutions de (E.s).

Notons S=sigma(m=0..+oo)s(x+m)
f0(x+1)-f0(x)=-(S-s(x))+S=s(x)
donc f0 est bien solution de (E.s)

Donc la solution générale de (E.s) est f0+f avec f appartient à P(1).

4)Soit k>0 préciser les solutions de (E,s) lorsque
s(x)=exp(-k*x).determiner si elles existent les solutions de (E,s) vérifiant (A).

Si quelqu'un peut vérifier cette dernière partie, merci.

La condition B est vérifiée dans ce cas, en effet
sigma(m=0..+oo)s(x+m)=sigma(m=0..+oo)(exp(-kx)*exp(-km))
=exp(-kx)sigma(m=0..+oo)exp(-km)
la série sigma(m=0..+oo)exp(-km) étant convergente B est vérifiée.

Les solution de (E.s) sont donc de la forme
-sigma(m=0..+oo)exp(-k*(x+m))+f, avec f appartenant à P(1)

-sigma(m=0..+oo)exp(-k*(x+m)) admet pour limite en +inf : 0
les solutions vérifiant A sont donc les fonctions de la forme
-sigma(m=0..+oo)exp(-k*(x+m)+ C (où C est une constante)

En espérant t'avoir aidé, sans faire trop d'erreurs,
à bientôt.