Enveloppe convexe !

par **barbu23** » 14 Juil 2007, 16:22

Bonjour:
j'ai une question à vous poser concernant le cours sur les polyèdres convexes:
D'abord, je vous donne queques définitions citées dans le cours pour que vous comprenez de quoi je parle:
Définition 1 :
Soit:

:

est un convexe si :

:

.
Définition 2 :
Soit:

.
Soient:

.
On dit que

est une combinaison convexe de

si:

,

tels que:

et

.
Définition 3 :
Soit:

:
On appelle l'enveloppe convexe de

l'ensemble

défini par:

,

.
Autrement dit, c'est l'ensemble de toutes les combinaisons convexes finies de points de

.
Voiçi ma question:
Pourquoi

est le plus petit ensemble convexe contenant

.
En fait, il y'a trois question dans cette même question :
il faut montrer que :
1)

.
2)

est un convexe.
3) Si

est un convexe contenant

, alors

contient necessairement

.
et merçi infiniment !!!

par **barbu23** » 14 Juil 2007, 16:26

Pour 1) c'est évident:

:

avec:

.

par **aviateurpilot** » 14 Juil 2007, 16:41

pour 2)
soient

donc

et

avec

et

tel que

donc

car

est une combinison lineaire de

et

avec les coeifficiant

et

d'ou

est convex

pour 3)
soit F un convex contenant S.
alors F contien tout les combinaison fini de S (avec une reccurence sur le nombre d'element dans la combinaison)
d'ou F contien H(S).

par **barbu23** » 14 Juil 2007, 16:44

Pour 2) c'est facile :
En effet:
Soient:

:
alors :

avec:

.

avec:

.
On doit vérifier que :

:

.
On a:

car:

et

,

.

par **barbu23** » 14 Juil 2007, 16:45

Il me reste 3), je ne sais pas comment la faire !!

par **barbu23** » 14 Juil 2007, 16:46

oui aviateurpilot, merçi beaucoup, on a repondu en même temps toi et moi !!

par **kazeriahm** » 14 Juil 2007, 16:55

aviateurpilot a écrit:pour 3)
soit F un convex contenant S.
alors F contien tout les combinaison fini de S (avec une reccurence sur le nombre d'element dans la combinaison)
d'ou F contien H(S).

F contient toutes les combinaisons convexes de S, ce qui est différent

et pour le prouver, en effet par récurrence, c'est pas tellement évident.

par **aviateurpilot** » 14 Juil 2007, 17:37

kazeriahm a écrit:F contient toutes les combinaisons convexes de S, ce qui est différent

et pour le prouver, en effet par récurrence, c'est pas tellement évident.

pour les combinaison linaire de

elements de S(

) elles sont inclu dans F.
supposons le resultat vraie pour tous les combinaison fini de k elements de S(

).
montrons que le resultat est encore vrai pour

.
soit

et

montrons que

on a

ou

donc

car

et

par **barbu23** » 14 Juil 2007, 18:58

Merçi beaucoup aviateurpilot !
j'ai encore quelques petites questions à vous poser :
c'est à propos d'un théorème qui dit :
Soit:

.

est combinaison convexe d'au plus

points de

.
Voiçi la démonstration:

tels que :

et

.
Si

, alors

est une combinaison convexe de

points avec :

.
Si

, alors:

sont linéairement dépendants, c'est à dire :

tels que:

avec au moins un

. Posons:

, dans ce cas, on a:

et

,

.
Maintenant, prenons

, on peut supposer que :

, il est facile de vérifier que :

,

et que :

Ainsi,

est une combinaison convexe d'au plus

points de

. Si

, on a le théorème sinon on reprend le processus précédent pour exprimer

comme combinaison convexe d'au plus

points de

. On répéte le processus au maximum

fois avec :

. Dans ce cas , nous aurons

comme combinaison convexe d'au plus

points de

.
Question:
Pourriez vous m'expliquez les passages en gras caractères en rouge, dans la démonstration et merçi d'avance !!

par **aviateurpilot** » 14 Juil 2007, 19:56

barbu23 a écrit:Si , alors: sont linéairement dépendants, c'est à dire : tels que: avec au moins un .

S est inclus dans un espace vectoriel de dimension n,
donc si on prend plus de n+1 elements de S,elles sont forcement linéairement dépendants.

barbu23 a écrit:, , et que :
!

par **barbu23** » 14 Juil 2007, 20:07

Merçi beaucoup aviateurpilot !

par **barbu23** » 15 Juil 2007, 12:58

Bonjour :
Théorème:
Soit

un convexe de

tel que :

.
Soient

et

.
Alors:

:

: l'interieur de

.
Démonstration:

tel que :

Soit:

où:

.

Pour prouver que:

, il suffit de moontrer que :

?
Soit :

tel que

.

Soit:

, montrons que:

.

Inégalitée triangulaire

.
Par définition de

, on a :

.. Or:

,

et

est convexe donc

.
Ainsi, nous avons montré que:

.
Question :
Pourriez vous m'expliquez les passages en rouge, et merçi infiniment !!!

par **barbu23** » 15 Juil 2007, 13:20

: L'interieur de l'ensemble

.

par **barbu23** » 15 Juil 2007, 13:43

Voiçi une partie de la démonstration du 2eme passage en rouge dans la démonstration... je l'ai trouvé dans mon cahier de maths... mais qui n'est pas terminée en entier :

...
Voilà .. j'ai pas noté la suite quant le prof ecrivait au tableau :hum: .. Quelqu'un pourrait m'aider pour la suite ... et merçi infiniment !!!

par **barbu23** » 15 Juil 2007, 14:33

On a :

.

d'où le résultat !!
il me reste le premier passage en rouge dans la démonstration, avez vous une idée comment faire.. et merçi d'avance !!

par **barbu23** » 15 Juil 2007, 14:36

Oh , ce que je suis con... le premier passage, c'est par définition de l'interieur d'un ensemble ... !!
merçi en tous cas !!

par **barbu23** » 15 Juil 2007, 14:58

Rebonjour:
Pourriez vous m'aider à démontrer que :
Soit

un convexe tel que l'interieur de

est non vide.
Alors:
1)

est un convexe.
2) l'adhérence de l'interieur de

est égale à l'adhérence de

.
et merçi infiniment !!!

par **barbu23** » 15 Juil 2007, 16:43

:help: pls !!
aidez moi à montrer que l'adhérence d'un convexe est convexe !!

par **kazeriahm** » 15 Juil 2007, 19:20

aviateurpilot a écrit:pour les combinaison linaire de elements de S( ) elles sont inclu dans F.
supposons le resultat vraie pour tous les combinaison fini de k elements de S().
montrons que le resultat est encore vrai pour .
soit et et
montrons que
on a ou
donc car et et

ok mais on parle bien de combinaisons convees, pas de combinaisons linéaires quelconques

par **barbu23** » 15 Juil 2007, 23:16

personne n'a les reponses ...?! :hum: :zen:

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