Ensembles, applications et cardinaux.

[capitaine nuggets]

Bonsoir, je bloque totalement sur cet exercice :

Soient et deux ensembles tels que et .
On note le nombre de surjections de dans .
1°) Pour , on définit les ensembles .
On me demande de calculer avec la formule de Poincaré mais sans succès...

Merci d'avance pour votre aide :++:

[mrif]

Bonsoir, je bloque totalement sur cet exercice :

Soient et deux ensembles tels que et .
On note le nombre de surjections de dans .
1°) Pour , on définit les ensembles .
On me demande de calculer avec la formule de Poincaré mais sans succès...

Merci d'avance pour votre aide :++:

L'application de la formule de Poincaré marche mais c'est difficile à transcrire car trop de symboles, mais la marche à suivre est plus simple à expilquer:

est l'ensemble des applications de E dans un ensemble à k-1 éléments, donc

est l'ensemble des applications de E dans un ensemble à k-2 éléments, donc

est l'ensemble des applications de E dans un ensemble à k-3 éléments, donc , et ainsi de suite ...

Le nombre des tel que est le nombre de parties à 2 éléments parmi k car choisir le couple revient à choisir une partie à 2 éléments car il y a un seul classement possible.

Le nombre des tel que est le nombre de parties à 3 éléments parmi k car choisir le triplet revient à choisir une partie à 3 éléments et classer ses éléments.

Et ainsi de suite .....

Maintenant il suffit d'appliquer la formule de Poincaré, et de remarquer que le nombre d'applications surjectives demandé est égale au nombre d'applications de E dans F, auquel on soustrait

[capitaine nuggets]

L'application de la formule de Poincaré marche mais c'est difficile à transcrire car trop de symboles, mais la marche à suivre est plus simple à expilquer:

est l'ensemble des applications de E dans un ensemble à k-1 éléments, donc

est l'ensemble des applications de E dans un ensemble à k-2 éléments, donc

est l'ensemble des applications de E dans un ensemble à k-3 éléments, donc , et ainsi de suite ...

Le nombre des tel que est le nombre de parties à 2 éléments parmi k car choisir le couple revient à choisir une partie à 2 éléments car il y a un seul classement possible.

Le nombre des tel que est le nombre de parties à 3 éléments parmi k car choisir le triplet revient à choisir une partie à 3 éléments et classer ses éléments.

Et ainsi de suite .....

Maintenant il suffit d'appliquer la formule de Poincaré, et de remarquer que le nombre d'applications surjectives demandé est égale au nombre d'applications de E dans F, auquel on soustrait

Salut !

Pourrais tu m'expliquer ce que sont les Ai ?
J'ai du mal à les comprendre.

D'après ce que tu as dit, on aurait pas ?

[Ben314]

Salut,
La définition de c'est l'énoncé qui te la donne :

.

C'est donc l'ensemble des fonctions de dans qui ne prenne pas la valeur , autrement dit, c'est l'ensemble des applications de dans . On a donc

Plus généralement, si sont des éléments distincts de alors est l'ensemble des applications de E dans donc

Le principe d'inclusion-exclusion te dit alors que :

[mrif]

Salut !

Pourrais tu m'expliquer ce que sont les Ai ?
J'ai du mal à les comprendre.

D'après ce que tu as dit, on aurait pas ?

Ben314 a bien répondu aux questions que tu as posées.
Ta remarque sur le cardinal est bonne, j'avais confondu l'espace de départ et d'arrivée.

[capitaine nuggets]

Salut,
La définition de c'est l'énoncé qui te la donne : C'est donc l'ensemble des fonctions de dans qui ne prenne pas la valeur , autrement dit, c'est l'ensemble des applications de dans . On a donc

Plus généralement, si sont des éléments distincts de alors est l'ensemble des applications de E dans donc

Le principe d'inclusion-exclusion te dit alors que :

Merci pour ces éclaircissement !
Toutefois, j'ai du mal à comprendre comment tu montres cette égalité :
.
Peux-tu m'expliquer s'il te plait ?

[Ben314]

Toutefois, j'ai du mal à comprendre comment tu montres cette égalité :
.
Peux-tu m'expliquer s'il te plait ?

Les différents ensembles ont tous le même cardinal donc la soit-disant "somme des cardinaux" est en fait égale à multiplié par le nombre de p-uplets tels que .
C'est donc le nombre de façon de choisir p éléments parmi k c'est à dire le coefficizent binomial .

[capitaine nuggets]

multiplié par le nombre de p-uplets tels que .
C'est donc le nombre de façon de choisir p éléments parmi k c'est à dire le coefficizent binomial .

Oui, mais le fait que tout les indices soient reliés entre eux par une relation d'ordre me perturbe...
Peut-on alors mettre en bijection l'ensemble des p uplets vérifiant avec un ensemble dont le cardinal vaut le coefficient binomial ?

[Ben314]

Oui, mais le fait que tout les indices soient reliés entre eux par une relation d'ordre me perturbe...
Peut-on alors mettre en bijection l'ensemble des p uplets vérifiant avec un ensemble dont le cardinal vaut le coefficient binomial ?

Par définition, le coeff. binômial, , c'est le nombre de parties à éléments dans un ensemble à éléments .
Or, une fois les éléments choisis, il y a une et une seule façon de les ranger dans l'ordre .

Si tu préfère, de façon plus "technique", si on considère d'un coté l'ensemble des p-uplet tels que et d'un autre coté l'ensemble des parties à éléments de l'ensemble, alors l'application est une bijection de sur .
Aprés, par définition, le cardinal de , c'est le coeff. binomial

Si c'est toujours pas clair, écrit explicitement les éléments de et de dans le cas où et (il y a 6 éléments).

[capitaine nuggets]

C'est bon j'ai compris !
Merci Ben314 :++:

2°) Dans la dernière question, on me demande d'en déduire que , mais je n'y arrive pas...