Ensemble universel non vide- fonction surjective et bijectiv

[henmil]

Bonjour tout le monde

J'aimerais savoir comment démontrer la partie a) et si mon raisonnement est bon pour la partie b) si ça doit être complété merci pour vos conseils

Soit U l'ensemble universel non-vide, et soit A un sous-ensemble de U.
La fonction caractérisque
XA :U -> {0,1} est définie pour tout u dans U comme suite:

XA(u) = 1 si u A
XA(u) = 0 si u A

a) Que peut-on dire de A si #(U)=100 et si XA n'est pas surjective? Justifier.

Cela signifie qu’il existe un u u A et u n’a pas de pré-image dans U

b) Que peut-on dire de A et de U si XA est bijective? Justifiez

Si XA est bijective alors #A = #U or par définition U-> {0,1}.
Donc #A = #U = {0,1}
Et XA(u) =1 dans tout les cas car u doit nécessairement appartenir à A et à U

[alben]

Bonjour,
Quelque chose doit m'échapper, l'ensemble d'arrivée de XA est formé de deux éléments : 0 et 1
Tu raisonnes comme si XA était définie de A dans U
Si ta fonction n'est pas surjective, cela signifie que 0 ou 1 n'est pas atteint. Ce qui veut dire dans le premier cas... et dans le second....

Si elle est bijective alors #U=2 et...

[henmil]

Alben

Pour la partie b) Merci.
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Pour la partie a)
En effet, A est un sous ensemble de U d'après la définition, cependant le résultat de la fonction f n'est pas un sous ensemble de U c'est comme si on avait 1 pour vrai et 0 pour faux. Si xA n'est pas surjective, est-ce que je peux dire que ça se peut que #A = ensemble vide? comment peut-on le démontrer ou justifier?

henmil

[alben]

si XA n'est pas surjective, il faut traiter deux cas selon la valeur qui n'est pas atteinte et tu devrais trouver que A est soit très grand, soit très petit :zen:

[henmil]

Je comprend ce que tu dis .
Partie a) Dans ce cas si Xa est n'est pas surjective
supposons U = {3,4,5,6} et A = {2,3} ou A = {2,7}dans ce cas si XA = 0 il existe un element de A qui n'a pas de preimage dans U d'apres la definition
donc Xa n'est pas surjective

et suppososn que U = {3,4,5,6} et A = {3,5} dans ce cas XA = 1 et on ne peut dire que la fonction n'est pas surjective


Partie b)
supposons U = {4,5} et A = {2,3} dans ce cas si XA = 0 et #A = #U = 2 mais aucun element de A n'a de preimage dans U d'apres la definition,
donc Xa n'est pas bijective

et supposons que U = {3,4} et A = {3,4} dans ce cas XA = 1 et on ne peut dire que la fonction est bijective

Puis-je raisonner de cette façon?

[alben]

Non
Si U = {3,4,5,6} et A = {3,5} XA(3)=XA(5)=1 XA(4)=XA(6)=0.
XA est alors surjective puisque les deux valeurs, 1 et 0 de l'ensemble d'arrivée ont des antécédents.
XA est une fonction qui prend autant de valeurs que U contient d'éléments XA=1 ne veut rien dire sauf éventuellement que pour tout u de U, XA(u)=1