Ensemble

[zork]

Bonjour,

comment montrer que l'ensemble A={ ]s,t[ avec s,t dans Q,s
quelle injection prendre de N dans A?
Comment la trouver? au hasard ou bien y-a-t-il une méthode?


merci

[raph107]

Bonjour,

comment montrer que l'ensemble A={ ]s,t[ avec s,t dans Q,s<t} est dénombrable?

quelle injection prendre de N dans A?
Comment la trouver? au hasard ou bien y-a-t-il une méthode?


merci

Pour démontrer qu'un ensemble est dénombrable, on remonte pas toujours à la définition, mais on essaie d'utiliser les résultats qui ont été établis au fur et à mesure qu'on approfondit la question.

On sait que les ensembles Z, Q, N² sont dénombrables
On sait qu'un produit fini d'ensembles dénombrables est dénombrable, qu'une réunion dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.

Pour ta question on va utiliser le fait que Q² est dénombrable:
L'application f de A dans Q² définie par f([s;t[) = (s,t) est injective donc A est dénombrable

[zork]

f(x)=(s,t) avec x dans ]s,t[

mais on aurait pu prendre autre chose? par exemple f(x)=(s+1,t+1)

[raph107]

f(x)=(s,t) avec x dans ]s,t[

mais on aurait pu prendre autre chose? par exemple f(x)=(s+1,t+1)

Non, l'ensemble de départ A est un ensemble d'intervalles et non pas de réels.
L'image d'un intervalle ]s,t[ est le couple (s,t) de Q²

[zork]

comment as tu eu l'idée de prendre cette fonction?
qu'est ce qui t'as guidé

[raph107]

comment as tu eu l'idée de prendre cette fonction?
qu'est ce qui t'as guidé

Un intervalle est défini par ses 2 extrémités donc par un couple de 2 nombres. Sachant que ces 2 nombres sont dans Q et que Q² est dénombrable, il est naturel d'associer le couple (s,t) à l'intervalle ]s,t[.