Ensemble et raisonnement

[jonses]

Bonsoir,

J'essayais de faire un exercice d'arithmétique, et une des questions était de montrer que :

pour tout entiers tels que , il existe un unique dont la décomposition en nombres premiers comporte le plus de 2.

Je me suis rendu compte après relecture que ma "démonstration" est plutôt bancale (en tout cas il le paraît pour moi) :

elle repose essentiellement sur un ensemble que j'ai introduit :


Avant de parler de mon raisonnement, j'aimerais savoir si un tel ensemble peut être introduit, mais surtout est-ce que vous le voyez comme l'ensemble des entiers naturels non nuls tels que divise au moins un élément de (ou je pensais aussi à l'ensemble des puissances de 2 qui divisent au moins un élément de ) ?

Ensuite, si cette ensemble ne pose pas problème, est-ce que ce n'est pas une erreur si j'ai montré que cette ensemble admet un plus grand élément ? (j'ai dans ma "démo" écrit que 1 est dans et que majore cette ensemble)


Je sais que je pose souvent des post pas très constructif, mais étant encore un débutant en math je me permets de demander de l'aide et de poser ce genre de question.
Merci d'avance pour vos réponses

[mrif]

Chaque k appartenant à admet une décomposition en facteurs premiers. Dans cette décomposition, on s'interesse à l'exposant du facteur 2 si le facteur 2 figure dans cette décomposition. A est l'ensemble de ces exposants pour .

Puisque m est différent de n l'intervalle contient au moins un nombre pair, donc l'ensemble A est non vide (il ne contient pas nécessairement 1).

A est majoré par m puisque donc il admet un plus grand élément.

[jonses]

Puisque m est différent de n l'intervalle contient au moins un nombre pair, donc l'ensemble A est non vide (il ne contient pas nécessairement 1).

Si un élément de est pair alors il est divisible par , et donc ?

je crois que on n'a pas le même ensemble A ?
Faudrait-il que je le change par ce qu'il est pas très rigoureux ?

[mrif]

Si un élément de est pair alors il est divisible par , et donc ?

Si tu prends l'intervalle [16;17] avec m = 16 et n = 17, on a: A = {4} et il ne contient pas 1.



Tu as raison, j'ai mal lu la définition de A. Dans l'exemple que j'ai pris A = {1;2;3;4}

[Rha]

Bonsoir,

Cet ensemble est bien celui que tu décris, et il existe bien (pour tout ensemble E et pour toute formule F, l'ensemble des éléments de E vérifiant F existe).

Par contre, si tu montre ques possède un maximum, tu ne réponds pas à l'énoncé.
Par exemple, si , on peut imaginer trouver et entre et (enfin on ne peut pas vu que l'énoncé est juste mais disons que l'argument de maximalité n'est pas suffisant)
Il faut que tu montres qu'il existe un unique entier entre et qui soit divisible par ce maximum.

Pour ce faire, je pense qu'il faut en considérer deux et comparer avec leur quotient par .
Il y a peut-être plus joli?

[jonses]

Si tu prends l'intervalle [16;17] avec m = 16 et n = 17, on a: A = {4} et il ne contient pas 1.

Mon ensemble A est dans cette exemple , je crois le problème vient du fait que j'ai définit de manière ambiguë mon ensemble : ce n'est pas vraiment l'ensemble des puissances de 2 qui divise au moins un élément de , mais l'ensemble des entiers tels que divise un élément de

(j'avour que c'est une peu floue :hum: )

Par contre, si tu montre ques possède un maximum, tu ne réponds pas à l'énoncé.
Par exemple, si , on peut imaginer trouver et entre et (enfin on ne peut pas vu que l'énoncé est juste mais disons que l'argument de maximalité n'est pas suffisant)
Il faut que tu montres qu'il existe un unique entier entre et qui soit divisible par ce maximum.

Je sais bien que montrer l'existence de ce maximum ne montre pas l'unicité (ça montre l'existence de ce qui est demandé). Pour l'unicité j'ai pas eu vraiment de problème (j'ai raisonné par l'absurde)

Il y a peut-être plus joli?

C'est clair qu'il y a plus joli, mais j'ai pas trouvé... :triste:

[mrif]

Mon ensemble A est dans cette exemple , je crois le problème vient du fait que j'ai définit de manière ambiguë mon ensemble : ce n'est pas vraiment l'ensemble des puissances de 2 qui divise au moins un élément de , mais l'ensemble des entiers tels que divise un élément de

Tu as raison, j'ai corrigé ma réponse précédente: j'avais mal lu.
Ta définition de A marche bien. A est une partie non vide et majorée dans N donc elle admet un plus grand élément. On prend un k (non unique) qui correspond à cet exposant maximum.
Il reste à prouver l'unicité de k.

[jonses]

Tu as raison, j'ai corrigé ma réponse précédente: j'avais mal lu.
Ta définition de A marche bien. A est une partie non vide et majorée dans N donc elle admet un plus grand élément. On prend un k (non unique) qui correspond à cet exposant maximum.
Il reste à prouver l'unicité de k.

C'est un peu ma faute aussi, dans mon premier message j'ai écrit pas mal de choses contradictoires pour décrire ^^

L'unicité je l'ai montré, mais comme l'a dit Rha : ce n'est pas très joli

Merci en tout cas