Ensemble quotient

[Dinozzo13]

Bonjour, j'ai un petit soucis sur une question portant sur un ensemble quotient :
.
On me demande de déterminer l'ensemble quotient.
Donc par définition : . Or .
J'ai simplement fait un tableau montrant pour quelles valeurs de et , .
.
Mais je ne sais pas comment déterminer cet ensemble après.

[Skullkid]

Salut, comme tu as l'air de l'avoir remarqué, il suffit de connaître la classe de n pour n allant de 0 à 4, puisque tous les nombres congrus à n modulo 5 sont forcément dans la classe de n. Reste plus qu'à lire ton tableau pour voir si la classe de n est plus grande que l'ensemble des entiers congrus à n modulo 5.

Si tu as suivi un cours d'arithmétique modulaire, tu peux immédiatement dire que x² = y² équivaut à x = y ou x = -y dans Z/5Z, ce qui te donne directement ton ensemble quotient.

[Dinozzo13]

Oui, j'ai remarqué que dans , mais je ne vois pas comment cela me donne directement l'ensemble quotient. Comment tu le voies toi ?

[Skullkid]

x = y [5] te dit que ta relation ~ "passe bien" dans Z/5Z. Ensuite, les éléments de Z/5Z sont -2, -1, 0, 1 et 2. x = -y [5] te dit que 1 ~ -1 et 2 ~ -2 donc c'est fini : Z/~ est un ensemble à 3 éléments, qui sont 5Z, (5Z+1)U(5Z-1) et (5Z+2)U(5Z-2).

[Dinozzo13]

x = y [5] te dit que ta relation ~ "passe bien" dans Z/5Z. Ensuite, les éléments de Z/5Z sont -2, -1, 0, 1 et 2. x = -y [5] te dit que 1 ~ -1 et 2 ~ -2 donc c'est fini : Z/~ est un ensemble à 3 éléments, qui sont 5Z, (5Z+1)U(5Z-1) et (5Z+2)U(5Z-2).

Ah ok, c'est bon j'ai compris !
Ne devrait-on pas avoir plutôt dans Z/5Z : 0,1,2,3,4 ? Et donc Z/~ devrait être 5Z, (5Z+1)U(5Z+4) et (5Z+2)U(5Z+3) ?

[Skullkid]

C'est la même chose, 5Z-1 = 5Z+4 par exemple. N'oublie pas que bien qu'on leur donne le même nom que les entiers, les éléments de Z/5Z ne sont pas des entiers, ce sont des classes. Tu peux t'amuser à écrire que Z/5Z = {10,-4,57,23,-6}, ça reste correct, c'est juste inutilement compliqué.

Quand n est impair (et en particulier quand il est premier), il est parfois plus sympathique de choisir les entiers de (1-n)/2 à (n-1)/2 comme système de représentants plutôt que les entiers de 0 à n-1.