Ensemble ouvert

[Marcet003]

Bonjour,

Soit l'ensemble suivant :

On montre qu'il est fermé avec le fait que est ouvert i.e le complémentaire de l'ensemble dans est ouvert.
Le complémentaire est donné par : .
Je sais que je recherche en principe :

Mais je n'ai pas d'idée coment orienter ma démarche.

Merci d'avance,...

[Ben314]

Salut,
Déjà, en ayant la bonne définition, ça serait mieux . . .
est un ouvert de ssi
Où le rayon des disques à le droit de dépendre du point choisi.
Donc pour raisonner sur ton exo., ben tu commence par choisir un point non situé sur le cercle trigo. (ton ensemble E) et tu regarde sur un dessin quel rayon il faut prendre si on veut qu'un disque centré en ce point et de ce rayon là ne coupe pas le cercle trigo. (géométriquement, c'est évident).

[Marcet003]

Désolé, j'ai corrigé la definition et je n'ai pas bien recopié l'exercice. Ce n'est pas un cercle mais une hyperbole.


Je recherche en principe un delta tel que : .
Il me semble ducoup que pour l'hyperbole, l'argument géométrique devient plus compliqué...

[Rdvn]

@ Marcet003
Une autre piste , économe en calculs :

Recherche Google : topologie métrique
On trouve le site BibM@th en première page
Résumé de cours : espaces métriques, espaces vectoriels ...
En descendant on trouve
Théorème (caractérisation séquentielle)
A est fermé si et seulement si, pour toute suite (u(n)) d'éléments de A qui converge vers ℓ∈E,
alors ℓ∈A.
Qu'en pensez vous ?

[Ben314]

Sinon, si on tient à le faire avec calculs, c'est pas monstrueux non plus :
Si pour on pose on vérifie assez rapidement que donc, si , en prenant tel que on aura bien .

[Marcet003]

Merci pour vos suggestions.