Ensemble nombres

[Matt34200]

Bonjour j'ai un exo de td qui a été donné à chercher , on apprend à effectuer des construire des démonstrations donc encore un peu de mal là dessus , pourriez vous me dire si ce que j'ai fait est correct
Soit {a1 ..., aN} un ensemble de N nombres réels . Soit C un autre réel , et on suppose que C < ou égale à a1 +...+aN
Montrer qu'il existe i appartenant {1,...,N } tel que C/N < ou égale à ai
Comme on a " il existe " j'ai posé un réel i donné , pour i = 3 j'ai alors C <a1 + a2 + a3 j'ai pris C = 8 a1 = 4 a2 = 6 a3 = 9 ce qui me donne C/N < a3 équivalent à 3 < 9 est ce juste ce que j'ai fait où je n'ai le droit d'attribuer une valeur finie qu'à mon i ?

[pascal16]

en gros, on demande simplement de choisir un nombre "C/N" strictement plus petit que la moyenne d'une série de nombres. On alors obligatoirement un nombre de la série plus grand que "C/N".

Vu comme ça, la contraposée semble le chemin le plus facile

[lyceen95]

@Matt
Non, il n'y a à peu près rien de bon dans ta réponse.

L'exercice commence par 'Soit {a1 ..., aN} un ensemble de N nombres réels. '
Donc les nombres $a_i$ sont quelconques. On ne te demande pas de trouver une liste de 3 ou 4 valeurs qui marche, on te dit : Peu importe les valeurs choisies pour $a_1$, $a_2$, ... $a_n$ , on peut trouver une certaine propriété ... et on te demande de prouver que cette affirmation est vraie.

En fait, il faut que tu fasses d'abord un travail pour comprendre la question : Essaie de traduire l'énoncé de l'exercice avec des phrases (des phrases complètes, aucun symbole mathématique).
Tu as forcément besoin de cette étape pour avancer.
Quand on est très bien rodé, on n'a pas besoin de le faire par écrit, mais on le fait 'mentalement'. A ton niveau, pour qu'on puisse t'aider efficacement, fais le par écrit.

[pascal16]

C ≤ a1 +...+aN est équivalent à C/N ≤ (a1 +...+aN) /N
on reconnait bien la formule de la moyenne à droite, c'est juste un choix d'écriture du rédacteur.
et je pense qu'avec la négation de " existe i appartenant {1,...,N } tel que C/N < ou égale à ai", j'arriverais bien à la négation que je veux.

[Matt34200]

Bonsoir à tous j'ai de nouveau travaillé sur l'exo en faisant la contraposée de mon énoncé qui est pour tout N appartenant aux entiers , pour tout { a1,..., aN} appartenant aux réels , pour tout C appartenant aux réels ( pour tout i < ou égale à N , ai< C/N ) implique a1 +...+aN < C
D'après le cours la contraposée a la même valeur de vérité que l'énoncé initiale , mais je n'arrive pas à construire ma démonstration de contraposée

[lyceen95]

Je t'ai dit : Essaie de traduire l'énoncé de l'exercice avec des phrases (des phrases complètes, aucun symbole mathématique).
Tu as forcément besoin de cette étape pour avancer.

Tu n'as pas fait cette étape, donc tu ne peux pas t'en sortir.
Pascal16 l'a fait pour toi, plus ou moins ... et je suis convaincu que tu ne 'visualises' toujours pas ce qu'on te demande.

[fatal_error]

bj,

je comprends pas trop ce qui est attendu de la visualisation, et de fait ne voit pas comment la retranscrire à l'écrit.
une alternative à la contraposée de pascal

sans perte de généralité sur le choix des a_i, on peut les trier par ordre croissant: de sorte que qqsoit i, a_1<=a_i <= a_N
on a alors Na_1 <= C <= Na_N idem
a_1 <= C/N <= a_N
quel i choisir mmm

[lyceen95]

L'énoncé original est :

Soit {a1 ..., aN} un ensemble de N nombres réels . Soit C un autre réel , et on suppose que
Montrer qu'il existe i appartenant {1,...,N } tel que

On va le reformuler en mettant quelques mots en français : Soit un groupe de nombres réels {a1 ..., aN} , et soit C un autre réel inférieur ou égal à la somme des .
Montrer qu'il y a un des nombres qui est supérieur ou égal à C/N

Et on va encore le reformuler : Soit un groupe de nombres réels {a1 ..., aN} , et soit C un autre réel , tel que C/N soit inférieur ou égal à la moyenne des .
Montrer qu'il y a un des nombres qui est supérieur ou égal à C/N

Je pense que cette étape de reformulation est nécessaire pour comprendre l'exercice. On nous demande de montrer une propriété qui est concrète, pas une propriété venue de la 4ème dimension ou de je ne sais où. Nous, matheux, on fait cette reformulation instantanément, dans notre tête. Je pense que Matt34200 a besoin d'aide pour cette étape.

Quand le problème est reformulé de cette façon, on voit qu'il suffit de prendre le plus grand des ; ce nombre est supérieur à la moyenne des , et donc supérieur à C/N. Reste à reformuler cela en langage mathématique.

[Matt34200]

J'ai compris la reformulation mais pas pourquoi C/N est inférieur ou égale à la moyenne des a1 ,...,aN ?
j'ai essayé une démonstration On pose aj le plus grand des ai
C< a1+..+aN implique que C< aj + aj..+aj
C < Naj
C/N < aj
donc il existe un i tel que C/N < ai et ce i est j
est ce correct ?

[GaBuZoMeu]

J'ai compris la reformulation mais pas pourquoi C/N est inférieur ou égale à la moyenne des a1 ,...,aN ?

Euh... Comment calcule-t-on la moyenne de ?

[lyceen95]

On divise à droite et à gauche par N, et ça nous donne : inférieur où égal à la moyenne des