Ensemble majoré

[mehdi-128]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à déterminer la borne supérieure de l'ensemble suivant :



J'aimerais juste une indication, pas la réponse.

J'ai trouvé que la borne sup existe car est non vide et aussi est une partie majorée par .

[Tuvasbien]

Bonjour, fais un dessin et représente sur le plan l'ensemble des points vérifiant . Une remarque, cet ensemble est fermé (c'est à dire qu'il est égal à son adhérence ou de façon plus imagée que la frontière de cet ensemble est dans cet ensemble, par exemple est fermé mais pas ) donc la borne supérieure est atteinte.

[mehdi-128]

Je n'ai pas encore vu les notions de fermés et de frontière... Je dois faire l'exercice qu'avec les notions de bornes sup et inf.
Comment représenter cet ensemble ? Justement c'est ce qui me bloque.

[Tuvasbien]

Concernant les ensembles fermés ils ne sont qu'au programme de spé (c'était une remarque culturelle), la valeur absolue gène, représente d'abord l'ensemble sur les 4 quarts du plan.

[mehdi-128]

L'ensemble des tel que : est l'intérieur du losange de côtés ?

[Tuvasbien]

Absolument.

[mehdi-128]

Mais je ne vois pas comment en déduire le Sup.

[Tuvasbien]

Note tout d'abord que ton sup est positif donc il est atteint pour et de même signe puisque sinon le produit est négatif. Comme alors et donc le produit est d'autant plus petit que ou est petit. Or donc si est grand alors est petit ce qui compense le produit. Il faut donc trouver un juste milieu entre prendre et à la fois assez grand mais pas trop et assez petit mais pas trop... Pour démontrer la conjecture tu peux te ramener à un quart de plan où et sont de même signe, disons , tu peux alors te ramener à une seule variable en utilisant la condition .

[mehdi-128]

Je vois mais même dans le cas je n'ai pas compris comment trouver maximal tel que soient dans l'ensemble

[Tuvasbien]

Soient et , alors , il reste plus qu'à déterminer le maximum de sur et à montrer que c'est bien la borne supérieure de .

[mehdi-128]

Le maximum de la fonction est atteint en et vaut .

Montrons que

Il faut montrer déjà que

Mais je ne vois pas comment le démontrer

[Tuvasbien]

Tu viens de le montrer, si alors il existe tel que et , si alors on a bien , sinon et donc et puis

[mehdi-128]

Je ne vois pas si et ce qu'il faut faire...



Je ne vois pas en quoi ça m'avance

[Tuvasbien]

Si on pose , alors tu as montrer que , maintenant si avec , alors car .

[mehdi-128]

Ah ouai joli, en effet dans le losange donc .

On a bien .

En effet : il suffit de prendre

[mehdi-128]

Ah ouai joli, en effet dans le losange donc .

On a bien .

En effet : il suffit de prendre