L'ensemble des polynômes n'est pas un ouvert ?

[Vana7614]

Bonjour,

Je suis en Master d'ingénierie Mathématique et je révise pour mes partiels. Je fais quelques exercices facultatifs et j'aimerai savoir ce que vous pensez de ma réponse à celui-ci.

Problème : Montrer que l'ensemble des polynômes n'est pas un ouvert de C[-1,1].

Ma réponse : L'ensemble des polynômes n'est pas un ouvert car c'est l'image d'un fermé [-1,1] par une application continue (un polynôme) (c'est tout le contraire, c'est un fermé).

Est-ce bien cela ?

Merci beaucoup !

[Doraki]

Tu peux m'expliquer comment l'ensemble des fonctions polynomiales est l'image de [-1;1] par un polynôme ?

Et puis l'image d'un fermé par une fonction continue n'est pas nécessairement fermée.

[Vana7614]

Tu peux m'expliquer comment l'ensemble des fonctions polynomiales est l'image de [-1;1] par un polynôme ?

Et puis l'image d'un fermé par une fonction continue n'est pas nécessairement fermée.

Si je ne peux pas utiliser l'image réciproque d'un fermé, comment puis-je faire pour le démontrer ?

[Doraki]

Ça veut encore moins dire quelque chose.

L'ensemble des fonctions polynomiales est une partie de l'ensemble des fonctions continues de [-1;1] dans R (aussi noté C([-1;1]) ).

Y'a un truc ça s'appelle une définition :
Pour montrer que ce n'est pas un ouvert, il faut utiliser la définition d'être ouvert.

Donc tu choisis une fonction polynomiale, tu en prends un voisinage quelconque dans la topologie de C([-1;1]) qu'on t'a donnée, et tu montres qu'il existe une fonction continue dans ce voisinage qui n'est pas une fonction polynomiale.

[Ben314]

Salut,
Je rajouterais aussi que, pour montrer qu'un ensemble est (ou n'est pas) un ouvert de C([-1,1]), il faudrait peut-être aussi songer à définir quelle topologie on prend sur C([-1,1])....
Par exemple, si je prend la topologie discrète, l'ensemble des polynômes est ouvert (et aussi fermé par la même occasion)

Je suppose que tu prend la topologie induite par la norme "sup" sur [-1,1] ?
Dans ce cas, l'ensemble des polynômes n'est ni ouvert, ni fermé et, pour le montrer, il suffit d'exhiber une suite de polynômes qui converge vers un "non-polynôme" et vice-versa.
De telles suites sont trés faciles à trouver...

[Vana7614]

Le truc, c'est que la topologie n'est pas précisée dans l'énoncé.
Je vous remercie pour vos réponses, je vais essayer comme cela.

[Ben314]

Si la topo n'est pas précisé, cela doit signifier que c'est effectivement la topo induite par la norme "sup" (c'est la première qui vient à l'esprit pour un ensemble de fonctions continues sur un compact...)

[Vana7614]

Merci, je vais donc utiliser la norme sup.
Si j'ai bien compris, avant de me lancer :
Pour montrer que ça n'est pas un ouvert : Je choisis une suite de fonctions non polynomiales et je montre qu'elle converge vers une fonction polynomiale.
Pour montrer que ça n'est pas un fermé : Je fais l'inverse.

Merci beaucoup à vous 2.

[Ben314]

Tu as tout à fait compris, aprés, pour les suites de fonctions, il y a sacrément le choix...

P.S. Le mot "choisir" que tu emploie me fait un peu peur....
Il suffit que tu trouve UNE suite de fonction telle que... (pour montrer que ce n'est pas ouvert, il suffit d'un exemple)

[Vana7614]

Tu as tout à fait compris, aprés, pour les suites de fonctions, il y a sacrément le choix...

P.S. Le mot "choisir" que tu emploie me fait un peu peur....
Il suffit que tu trouve UNE suite de fonction telle que... (pour montrer que ce n'est pas ouvert, il suffit d'un exemple)

Oui je voulais dire j'en trouve une pour laquelle ça fonctionne =)

Merci infiniment !