Ensemble borélien?

[Trident]

Salut, j'ai un problème pour un petit exercice.
On considère une suite I d'intervalles de R.

L'ensemble A = { réels tels que pour une infinité de valeurs de est-il borélien?

Je pense que oui mais je ne vois pas trop comment le montrer.
On pourrait montrer qu'il est ouvert par exemple mais est-ce vraiment le cas ?
Si je prend un x dedans, on sait qu'il est dans une infinité de I(n) mais est-ce que forcément je peux trouver un intervalle petit centré en x tels que tout ce qui sont dedans sont aussi dans une infinité de I(n)? Difficile à dire car on a pas d'info sur la suite I(n).
Cet ensemble n'est par contre pas fermé. Si je prend la suite d'intervalles tel que I(1)=[1;2] et I(n)=]0;1-1/n] pour n>1.
Je prend la suite x(n)=1-1/n qui est telle que pour chaque n, on a x(n) qui appartient à tous les I(j) pour j>n. Cette suite tend vers 1 qui n'appartient qu'à I(1) donc qui n'est pas dans l'ensemble de départ A.
Son complémentaire n'est pas fermé aussi et j'ai les mêmes difficultés pour montrer qu'il est ouvert (éventuellement car c'est pas sûr).
Sinon j'avais pensé à dire que x est dans une infinité dénombrable d'intervalles I(n) donc que A était en fait l'union (quand x est dans R) des intersection des I(n) (tel que x est dans I(n)) mais la grande union n'est pas forcément dénombrable.

[jlb]

Montre que A=limsupIn et tu auras ton résultat.

[Doraki]

C'est peut-être un peu plus clair si tu regardes plutôt le complémentaire de A.

[Trident]

Montre que A=limsupIn et tu auras ton résultat.

C'est complètement clair que l'égalité est vérifiée en utilisant le résultat du cours qui traduit en français l'appartenance à la lim sup.
Mais pourquoi le fait que A est une limite sup d'une suite d'ensembles prouve que A est borélien?

@Doraki : Ok, je pense aussi que c'est mieux de travailler avec du fini, mais je montre quoi ? Que le complémentaire est ouvert , que c'est une réunion d'intervalles, ... ?

[jlb]

un intervalle est un borélien, une union finie de boréliens est un borélien, une intersection dénombrable de borélien est un borélien

et limsupIn=intersection sur n ( union sur p>=n Ip) cela fonctionne bien, non? après, je ne suis pas sur, c'est à vérifier.

[Doraki]

Ben tu traduis "être dans un nombre fini de In" en une réunion de morceaux plus simples.

Par exemple, tu peux classer les gens qui sont dans un nombre fini de In en fonction du dernier n dans lequel ils sont dans In.
Donc de là tu regardes Xk = {x / x est dans Ik mais dans aucun In pour n > k} ; et ça devrait pas être trop dur de montrer que c'est un borélien.

Tu peux aussi classer les gens qui sont dans un nombre fini de In en fonction du nombre de n pour lesquels ils sont dans In.
Donc de là tu regardes Yk = {x / {n / x est dans In} est de cardinal k}, et tu peux aussi chercher à montrer que ce sont des boréliens (mais c'est un peu plus moche).