Ensemble non borélien

[marawita1]

Bonsoir,

Pour exhiber un sous ensemble de non borélien, on définit une relation d'équivalence sur [0,1[ par

si et seulement .

On définit comme l'ensemble obtenu en choisissant exactement un élément dans chaque classe d'équivalence de .


Pourquoi c'est pas évident de trouver un tel ensemble?

C'est quoi l'axiome de choix?


Merci d'avance.

[aviateur]

Bonjour
Je pense c'est à la fois simple et compliqué à comprendre.
Voici ce que tu utilises pour donner un exemple de non borélien
Soit X un ensemble non vide. Il existe une application appelée fonction de choix c:P(X)∖{∅}→X qui à toute partie non vide de X associe un élément de cette partie
Si tu arrives à démontrer cela alors on appellera cela une propriété ou théorème ou ....?
En attendant on appelle cela un axiome.

[marawita1]

Bonjour,

J'ai pas bien saisi ce que tu as dit. Franchement je ne vois pas l’intérêt d’utiliser cet axiome!!!!!!!!!!!
J'ai une famille des sous ensembles d'un ensemble qui sont deux à deux disjoints. Je vais choisir de chaque sous ensemble un seul élément et je construis un nouveau ensemble . Est-ce j'ai pas le droit de faire comme ça? C'est quoi le problème?

[aviateur]

Justement cet axiome du choix te permet à chaque A_i de lui faire correspondre un élément x_i qui est dans A_i. Sans cet axiome tu ne peux pas.

[marawita1]

Merci bien aviateur.
C'est la première fois que j'entends par cet axiome. Avez vous quelques références parlant sur cet axiome , son utilité et les cas dont on en a besoin.

[mathelot]

Merci bien aviateur.
C'est la première fois que j'entends par cet axiome. Avez vous quelques références parlant sur cet axiome , son utilité et les cas dont on en a besoin.

-le lemme de Zorn
-tout e.v différent de 0 admet une base
-fonction f surjective <=> f est inversible à droite pour la composition des applications
-le théorème de Tychonoff (tout produit d'espaces compact est compact pour la topologie produit)

[aviateur]

Oui il y a les exemples de @mathelot
Il y a ton exemple!!!!
Aussi le th de Zermelo
Théorème de Zermelo — Tout ensemble peut être muni d'une structure de bon ordre, c'est-à-dire d'un ordre tel que toute partie non vide admette un plus petit élément.
On voit que ce n'est pas rien.

[Ben314]

Et dans la liste des "déductions" que l'on peut faire de l'axiome du choix il y a aussi le paradoxe de Banach Tarski qui dit qu'on peut découper une boule (de R^3) en un nombre fini de morceaux tels qu'avec les morceaux en questions on puisse reconstituer deux boules de même rayon que celle de départ (en résumé c'est... la multiplication des petits pains...)
Donc pour paraphraser aviateur ci dessus, "on voit que c'est pas rien l'axiome du choix"...

[aviateur]

Oui, alors là avec les boules c'est "énorme".
Moins compliqué à comprendre il y a aussi l'équivalence de l'axiome du choix (AC) et de (AC') ci-dessous
(AC'): Soit I un ensemble non vide et une famille d'ensembles indexés par I.


Je crois que l'axiome du choix joue un rôle dans le th Hahn-Banach...

[Viko]

@aviateur Sais-tu ou je peux trouver une preuve de l'équivalence que tu a cité, le prof l'a mentionné en cours mais il ne l'a pas prouvé pourtant sa a l'air assez intéressant à démontrer !

[aviateur]

Bonjour
A la page 1 tu as la démonstration
https://spoirier.lautre.net/leroy/Chap11.pdf

[Viko]

Merci bien !

[marawita1]

Merci beaucoup pour vos réponses.