Encadrement de e

par **lucie68** » 21 Mai 2009, 08:40

Salut tout le monde !!

Alors j'ai un petit souci ..
Je définis e comme l'unique réel tel que l'intégrale de 1:x entre 1 et e fasse 1.
Et j'aimerais montrer que e est compris entre a+racine(2) et 3 ..
Mais j'ai aucune idée de comment faire ça !

Alors si vous poiuviez me donner deux trois pistes, ce serait cool :)
Merci !

par **Pythales** » 21 Mai 2009, 10:27

Qu'est ce que a ?

par **uztop** » 21 Mai 2009, 10:34

Salut,

je suppose que c'est 1, ca colle bien avec un encadrement de e.
Sinon, le plus facile a mon avis pour encadrer e est de le considerer comme la base de l'exponentielle (et on a alors des formules du genre

ou

)
Sinon Lucie, j'en deduis que tu es admissible au capes, felicitations !

par **lucie68** » 21 Mai 2009, 11:16

Ah oui pardon c'est 1, et non pas a :s ...
Enfaite c'est un exercice dans la leçon primitive et intégrale.
Donc effectivement je peux utiliser ces deux suites qui tendent vers e, mais c'est pas dans l'optique de la leçon.
Donc je pense qu'il faut utiliser des propriétés de la fonction logarithme, primitive de 1/x ..
peut être la concavité ..

( Oui :) je suis admissible au capes !! merci ! )

par **uztop** » 21 Mai 2009, 11:40

tu peux approximer ln grace a notre ami Euler (etant donne qu'on connait la derivee de la fonction)
Je n'ai pas pose les calculs (ca se remarque un peu trop au travail ;)) donc je ne peux pas dire si ca converge vite ou pas.

par **Vuze49** » 21 Mai 2009, 13:20

Bonjour,
j'ai revu cette leçon il n'y a pas longtemps moi aussi je vais essayer de pas dire trop d'âneries, alors:

et

est strictement convexe sur

donc au dessus de sa tangente en

qui a pour équation si je ne me trompe

.
mais la fonction est en dessous de la corde (1,f(1)) ; (e,f(e)) qui a pour équation

Avec cet encadrement (par intégration ) tu as le résultat !

par **lucie68** » 21 Mai 2009, 16:35

OK merci beaucoup !!

Je viens d'essayer ..
Tu intègres bien entre 1 et e non?
Parce que ça me donne un truc assez horrible ..
j'ai essayé de le simplifier mais je suis pas sûre que ça marche ..

par **Vuze49** » 21 Mai 2009, 19:03

Oui j'intègre entre 1 et e et je traite séparément les 2 inégalités, par exemple pour celle de droite :

puis tu n'as plus qu'à réoudre et tu as déjà

par **lucie68** » 21 Mai 2009, 20:56

Ah oui exact, je m'étais compliqué la vie !
Je te remercie :)
Bon courage pour la préparation aux oraux ( si j'ai bien compris, tu passes aussi le CAPES !)

Encadrement de e

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