Encadrement integrale
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Elganar
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par Elganar » 01 Avr 2015, 17:27
Bonjour,
Je bug sur un exercice depuis quelques jours, voici l'ennoncé:
Juste pour la première question...
Pour l'inégalité de gauche j'ai fais passer le ln(k) à gauche et par un IPP on a bien négatif mais pour la droite, plus difficile a montrer que c'est positif...
Merci d'avance pour votre aide
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Ben314
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par Ben314 » 01 Avr 2015, 18:31
Salut,
Trois petites indications :
1) Il n'y a besoin d'aucun calculs (ni I.p.P, ni calcul de primitive, ni quoi que ce soit d'autre) mais uniquement de "regarder" correctement la formule.
2) La même formule est valable pour des tas d'autres fonctions que la fonction ln : En fait c'est vrai pour toute fonction...
3) Une intégrale, ça correspond à un calcul d'aire (faire un dessin...)
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
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Elganar
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par Elganar » 01 Avr 2015, 18:51
Bonjour,
Merci pour ta reponse, mais je comprends pas mieux, juste l'ordre des deux intégrales mais pas de ln(k)...
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zygomatique
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par zygomatique » 01 Avr 2015, 18:54
salut
il suffit de connaître les variations de la fonction ln ....
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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Elganar
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par Elganar » 01 Avr 2015, 18:57
Strictement croissante sur R+ négative de 0 à 1 et positive le reste, mais je vois vraiment pas ^^
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zygomatique
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par zygomatique » 01 Avr 2015, 19:01
as-tu dessiné la fonction ln ?
revois le point 3/ de Ben314
RAP : pour tout réel x :: x = 1 * x
...
Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. EUCLIDE
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Elganar
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par Elganar » 01 Avr 2015, 19:11
Ah si en fait c'est bon merci beaucoup ^^
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paquito
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par paquito » 01 Avr 2015, 19:13
Sur
, on a
\leq ln(x)\leq ln(k))
, d'où:
dx\leq \bigint_{k-1}^{k}ln((k)=ln(k))
;
de même
dx\leq ln(k+1))
; d'où en sommant de
à
:
dx\leq ln(k) \leq\bigsum_{k=2}^{k=n} \bigint_{k}^{k+1}ln(x)dx)
et en sommant;
dx \leq \bigsum_{k=2}^{k=n}ln(k)\leq\bigint_{2}^{n+1}ln(x)dx)
,ce qui donne:
-n+1\leq ln(n!)\leq (n+1)ln(n+1)- (n+1)-2ln(2))
de plus
=nnln(n))
; ça doit bien s'arranger!
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