Éléments simples

[Jjl]

Bonjour ,vu que je n'ai quasiment rien compris dans les décomposition en éléments simple ,je voulais savoir si quelqu'un pouvais m'expliquer avec des "mots simples" comment décomposer ces fractions:
a)(2x + 3)/((x + 2)(x² x + 1)) et b) (x + 5)/((x + 2)(x^3+2x + 1))

Je sais juste que Si avec degré de< degré de, les éléments simples sont
- soit de la forme où est une racine de
- soit de la forme où est un trinôme du second degré qui divise mais qui ne possède pas de racine réelle (donc dont le discriminant est négatif).

Et même si dans les cas a) et b) le dénominateur est de degré 3 et 4 ,sont tout deux supérieur au degré du numérateur,ça ne m'aide pas vraiment .
a) et b) ne sont que deux cas de figure ,mais il y en a beaucoup d'autres ...

[zygomatique]

salut

2x + 3 = 2(x + 2) - 1 ....

puis on cherche a, b et c tels que c(x^2 - x + 1) + (ax + b)(x + 2) = 1

....

[Ben314]

Salut,
Avec tes deux "formes", tu as... tout ce qu'il faut savoir sur le plan théorique.
Et cela vient du résultat (très théorique) qui dit que tout polynôme à coeff. réel peut se décomposer en produit de polynômes du premier degré et de polynôme du second degrés a discriminant négatif.
Le résultat est "très théorique" dans le sens que, face a un polynôme donné de degré par exemple 10, il n'y a pas vraiment de méthode "carré carré" pour trouver la factorisation dudit polynôme, mais dans presque tout les exos. de "décomposition en éléments simples", soit la factorisation est donnée, soit elle est relativement simple a trouver.

Le seul truc qu'il te manque dans tes "formes", c'est le rajout que les exposants k des dénominateurs prennent les valeurs de 1 à d où d est l'exposant de ou de dans la factorisation de a l'aide de termes de degré 1 et de degré 2 a discriminant négatif.

Donc, pour ton a) où et , on a bien (sinon on aurait effectué la division euclidienne de P par Q pour se ramener à ce cas là) et le discriminant de est donc il n'est pas factorisable dans R.
Conclusion : la décomposition demandée est de la forme où sont des constantes réelles a déterminer.
Après, il faut faire beaucoup d'exos. concernant cette notion vu qu'il y a des tas de méthodes (plus ou moins rapides) pour déterminer les fameux coefficients et qu'il vaut mieux les connaitre a peu prés toutes ou tout du moins en connaitre suffisamment pour pouvoir trouver les valeurs en question en évitant les calculs "a rallonge".
Tu proposerait quoi comme méthode ?

[Jjl]

Salut,
Avec tes deux "formes", tu as... tout ce qu'il faut savoir sur le plan théorique.
Et cela vient du résultat (très théorique) qui dit que tout polynôme à coeff. réel peut se décomposer en produit de polynômes du premier degré et de polynôme du second degrés a discriminant négatif.
Le résultat est "très théorique" dans le sens que, face a un polynôme donné de degré par exemple 10, il n'y a pas vraiment de méthode "carré carré" pour trouver la factorisation dudit polynôme, mais dans presque tout les exos. de "décomposition en éléments simples", soit la factorisation est donnée, soit elle est relativement simple a trouver.

Le seul truc qu'il te manque dans tes "formes", c'est le rajout que les exposants k des dénominateurs prennent les valeurs de 1 à d où d est l'exposant de ou de dans la factorisation de a l'aide de termes de degré 1 et de degré 2 a discriminant négatif.

Donc, pour ton a) où et , on a bien (sinon on aurait effectué la division euclidienne de P par Q pour se ramener à ce cas là) et le discriminant de est donc il n'est pas factorisable dans R.
Conclusion : la décomposition demandée est de la forme où sont des constantes réelles a déterminer.
Après, il faut faire beaucoup d'exos. concernant cette notion vu qu'il y a des tas de méthodes (plus ou moins rapides) pour déterminer les fameux coefficients et qu'il vaut mieux les connaitre a peu prés toutes ou tout du moins en connaitre suffisamment pour pouvoir trouver les valeurs en question en évitant les calculs "a rallonge".
Tu proposerait quoi comme méthode ?

Eh bien je proposerais la méthode par identification,il y en à d'autres mais je ne les connait pas bien et je ne sais pas si elles sont plus rapides .

Oui effectivement tout cela est assez théorique,mais comme tu l'as dit,les factorisation ne seront pas trop compliquées,dieu merci.
Merci d'avoir rajouté ce qu'il manquait .
Ensuite je vois bien qu'il faudra faire plein d'exercices,pas le choix .

Il y a des gens qui croient que les maths c'est compliqué et que c'est que de la théorie .
Mais c'est faux,il y a beaucoup de pratique derrière ...
Si j'apprenais tout mes cours sans comprendre j'aurai des 0 ^^.

[Jjl]

salut

2x + 3 = 2(x + 2) - 1 ....

puis on cherche a, b et c tels que c(x^2 - x + 1) + (ax + b)(x + 2) = 1

....

Merci zygomatique,il ne me reste qu'a trouvé a,b,c et chercher des exos de ce genre sur le net,et en faire jusqu'à ce que mort s'ensuive ^^

[Ben314]

Si tu veut mon avis, commence par en faire quelques-uns par identification, puis essaye de passer a autre chose vu que par identifications, c'est systématiquement le plus long.

Le mieux, c'est peut-être même dés le départ de faire l'exo. par identification puis d'essayer de le refaire en étant un peu plus "subtil" dans les calculs pour voir à quel point ça "gagne"

[Jjl]

Si tu veut mon avis, commence par en faire quelques-uns par identification, puis essaye de passer a autre chose vu que par identifications, c'est systématiquement le plus long.

Le mieux, c'est peut-être même dés le départ de faire l'exo. par identification puis d'essayer de le refaire en étant un peu plus "subtil" dans les calculs pour voir à quel point ça "gagne"

Ok,je ferai donc ça ,effectivement c'est plus long j'ai vu ça.