écrire sous forme exponentielle à l'aide de arctan

[ad5602]

bonjour j'ai un problème urgent à réglé, en espérant que vous pourrez m'aider

voilà du coup mon exercice est :
exprimer sous la forme exponentielle 1+2i à l'aide de arctan(2) . Faire de même avec -1+2i

le prof nous a donné les réponses:
pour 1+2i = sqrt(5) exp( i arctant(2))
pour -1+2i = sqrt(5) exp( i pi + arctan(-2))

je comprend le résonnement pour le module, et pour obtenir l'équation
tan( téta) = -2 mais je ne comprend pas comment on trouve pi + arctan(-2) = teta

[Pisigma]

Bonjour,

[Black Jack]

Bonjour,

La fonction x --> tan(x) est Pi périodique.

Cela veut dire que sur un "tour complet" donc de -Pi à Pi, il y a 2 valeurs de x qui correspondent à tan(x)

Exemple:
tan(x) = 1 --> x = ? (avec x dans ]-Pi ; Pi])
Et bien x = Pi/4 convient mais x = -3Pi/4 convient aussi.

Pour trouver l'argument d'un nombre complexe z = a + i.b ...
On le met sous la forme z = V(a²+b²) * (a/V(a²+b²) + i.b/V(a²+b²)) (avec V pour racine carrée)

Or on peut écrire z qoits la forme : z = |Z|.(cos(theta) + i . sin(theta)) = |Z|.exp(i * theta)

En comparent les 2 écritures, on a donc :

|Z| = V(a²+b²)
cos(theta) = a/V(a²+b²)
sin(theta) = b/V(a²+b²)

tan(theta) = sin(theta)/cos(theta) = b/a

Si on tente de calculer theta à partir de tan(theta) = b/a ... il y a une difficulté car car montré au début, il y a 2 valeurs de theta telles que tan(theta) = b/a.

Il FAUT prendre celle qui convient.

Les signes de a et b imposent les signes de sin(theta) et cos(theta) et donc (voir cercle trigonométrique) et cela permet de choisir la valeur de theta qui convient.

On peut retenir (rarement enseigné malheureusement) que avec z = a + ib,

1°) Si a > 0, alors un argument de z est arctan(b/a)
2°) Si a < 0, alors un argument de z est Pi + arctan(b/a)

On arrive aux mêmes solutions via les signes de cos(theta) et de sin(theta) ...

[ad5602]

Bonjour,

La fonction x --> tan(x) est Pi périodique.

Cela veut dire que sur un "tour complet" donc de -Pi à Pi, il y a 2 valeurs de x qui correspondent à tan(x)

Exemple:
tan(x) = 1 --> x = ? (avec x dans ]-Pi ; Pi])
Et bien x = Pi/4 convient mais x = -3Pi/4 convient aussi.

Pour trouver l'argument d'un nombre complexe z = a + i.b ...
On le met sous la forme z = V(a²+b²) * (a/V(a²+b²) + i.b/V(a²+b²)) (avec V pour racine carrée)

Or on peut écrire z qoits la forme : z = |Z|.(cos(theta) + i . sin(theta)) = |Z|.exp(i * theta)

En comparent les 2 écritures, on a donc :

|Z| = V(a²+b²)
cos(theta) = a/V(a²+b²)
sin(theta) = b/V(a²+b²)

tan(theta) = sin(theta)/cos(theta) = b/a

Si on tente de calculer theta à partir de tan(theta) = b/a ... il y a une difficulté car car montré au début, il y a 2 valeurs de theta telles que tan(theta) = b/a.

Il FAUT prendre celle qui convient.

Les signes de a et b imposent les signes de sin(theta) et cos(theta) et donc (voir cercle trigonométrique) et cela permet de choisir la valeur de theta qui convient.

On peut retenir (rarement enseigné malheureusement) que avec z = a + ib,

1°) Si a > 0, alors un argument de z est arctan(b/a)
2°) Si a < 0, alors un argument de z est Pi + arctan(b/a)

On arrive aux mêmes solutions via les signes de cos(theta) et de sin(theta) ...

mercii beaucoup c'est plus clair maintenant !