Echantillonnage - théorème de Moivre -Laplace - théorème LC

[Pseuda]

Bonjour,

Je me pose des questions sur les chapitres relatifs à l'échantillonnage tels qu'ils sont présentés au lycée. Plus particulièrement, je me demande d'où viennent les définitions sur les intervalles de fluctuation et les intervalles de confiance, et les restrictions apportées à n (taille de l'échantillon) et à p (proportion du caractère dans la population), pour pouvoir appliquer ces intervalles.

En 2nde : "Soit un caractère dont la proportion dans une population donnée est p. Lorsque n 25 et 0,2p0,8, 95% des échantillons de taille n sont tels que la fréquence du caractère dans l'échantillon appartiennent à l'intervalle de fluctuation [,]".

En TeS : une autre forme de l'intervalle de fluctuation avec les restrictions n30, np5 et n(1-p)5 est donnée.

J'ai été bien sûr consulter le théorème de Moivre-Laplace (dont il est fait mention dans le programme de TeS pour le calcul de probabilités avec la loi normale) , pour identifier si ces définitions-théorèmes provenaient de là (convergence d'une loi binomiale vers une loi normale) ; il semble bien que non, aucune restriction chiffrée sur une valeur minimum chiffrée imposée à n et/ou p n'apparaissant dans la démonstration de ce théorème.

Il semblerait donc que ces définitions-théorèmes proviendraient plutôt du théorème Limite Central : convergence en moyenne d'une somme de suite de variables aléatoires identiques, indépendantes, et carré intégrables, vers la loi normale, ce qui correspond bien à la loi binomiale ( somme de lois de Bernoulli toutes identiques, dont on fait la moyenne pour obtenir la fréquence). Pouvez-vous confirmer ceci ?

En résumé, d'où viennent ces définitions-théorèmes sur l'échantillonnage en 2nde et Terminale ? (en 1ère, on utilise la loi binomiale pour calculer les fréquences, donc pas de problème), et ces restrictions sur n et p : théorème de Moivre-Laplace, théorème Limite Central, ou bien fruit de simulations sur ordinateur ?

J'avoue que j'ai beaucoup de mal à enseigner quelque chose que je ne comprends pas, surtout si je ne sais pas quels sont les théorèmes sous-jacents, et d'où sortent les limites d'applications de ces théorèmes.

Si vous avez la réponse à ces questions, merci d'avance.

[lionel52]

Oui tout vient du théorème de la limite centrale qui indique que si est une suite de v.a iid d'espérance et de variance alors converge en loi vers la loi normale centrée réduite

Ce qui signifie en particulier pour tous a, b,


Et en particulier quand n est "grand"




On réecrit cette formule pour des bernoulli en sachant que .
On cherche tel que pour que la proba que p tombe dans cet intervalle soit asymptotiquement de 95%

Tu cherches dans les tableurs, il vaut à peu près 1.96







Et

Avec a ~ 1.96
Et en fait tu te rends compte que si p est ni trop proche de 0 ou de 1 ce qui correspond à des cas où la loi de Bernoulli prend suffisamment souvent les valeurs 0 et 1, alors (maximum atteint en et tu as à peu près ce que tu veux

[Pseuda]

Oui tout vient du théorème de la limite centrale qui indique que si est une suite de v.a iid d'espérance et de variance alors converge en loi vers la loi normale centrée réduite

Ce qui signifie en particulier pour tous a, b,


Et en particulier quand n est "grand"




On réecrit cette formule pour des bernoulli en sachant que .


On cherche tel que pour que la proba que p tombe dans cet intervalle soit asymptotiquement de 95%

Tu cherches dans les tableurs, il vaut à peu près 1.96




Et

Avec a ~ 1.96
Et en fait tu te rends compte que si p est ni trop proche de 0 ou de 1 ce qui correspond à des cas où la loi de Bernoulli prend suffisamment souvent les valeurs 0 et 1, alors (maximum atteint en et tu as à peu près ce que tu veux

Merci beaucoup, cela confirme ce que je pensais en glanant des informations à droite à gauche.

Si je comprends bien, le théorème de Moivre-Laplace provient du théorème de la Limite Centrale (c'est un cas particulier du théorème LC pour une suite de v.a. qui suivent la loi de Bernoulli), et les intervalles de fluctuation découlent eux-mêmes du théorème de Moivre-Laplace (les intervalles sont centrés autour de la moyenne), enfin ceux de 2nde et Term, ceux de 1ère découlant de la loi binomiale .

Deux choses m'interpellent.

La 1ère, c'est que dans la formule du théorème de M-L, on fait tendre n vers +oo, mais la population étudiée n'est pas infinie, donc l'échantillon encore moins. Mais je me suis rendue compte (par moi-même, car cela n'est pas évoqué dans les programmes du lycée), que cela n'avait aucune importance, s'agissant d'un tirage considéré avec remise, et que seule compte la proportion du caractère étudié dans la population.

Mais le tirage considéré avec remise crée un biais qui est passé sous silence dans les programmes de 2nde, 1ère et Term (biais qui n'est pas chiffré). Quelle est l'erreur commise en considérant une loi binomiale (tirage avec remise) plutôt qu'une loi hypergéométrique (tirage simultané), et son rapport à celle commise en assimilant une loi binomiale à la loi normale ?

La 2ème, c'est toujours d'où sortent les restrictions n 25 et 0,2p0,8 en 2nde, et n30, np5 et n(1-p)5 en Term ? Pour p=0 ou 1, ou n=1, les intervalles de fluctuation sont trivialement faux, donc on imagine que cela doit être le cas aussi pour p proche de 0 ou 1, ou pour n petit.

En consultant la démonstration du théorème de M-L (ci-après), l'erreur commise (en assimilant la loi binomiale à la loi normale) est majorée par quelque chose du genre , avec C=220 (tous calculs faits), ridicule. Donc cela ne vient pas de là, mais peut-être du théorème LC lui-même, ou bien de simulations sur ordinateur ?

http://enseignement.math.univ-angers.fr ... e_2012.pdf

Ce que je trouve bizarre aussi, c'est qu'à données égales, comme l'intervalle de fluctuation est légèrement plus large en 2nde qu'en Term, les restrictions de 2nde devraient être moins étroites. Or ce n'est pas le cas. Et surtout, alors que l'intervalle de fluctuation de 2nde provient directement de celui de Term (1,96 2), elles ne sont pas exactement de même nature, celles de Term portant sur n, n*p et n*(1-p) et celles de 2nde sur n et p. Pourquoi ?

Sur un autre post, on peut voir que ces restrictions sont fausses dans des cas particuliers, par exemple pour n=41, même avec p=1/2 :

http://revue.sesamath.net/IMG/pdf/l_art ... en_pdf.pdf

Bizarre, tout ça.

[Romy]

Ceci est une conséquence logique de l''intervalle de fluctuation asymptotique obtenu par convergence (sur n).
L’intervalle de fluctuation asymptotique n’est autre qu’un intervalle plus « fin » et produit en majorant p*(1 - p).
Le théorème de Moivre-Laplace donne un intervalle de fluctuation calculable directement, si n est assez grand.

[Pseuda]

Ceci est une conséquence logique de l''intervalle de fluctuation asymptotique obtenu par convergence (sur n).
L’intervalle de fluctuation asymptotique n’est autre qu’un intervalle plus « fin » et produit en majorant p*(1 - p).
Le théorème de Moivre-Laplace donne un intervalle de fluctuation calculable directement, si n est assez grand.

Bonsoir,

Qu'est-ce qui est une conséquence logique ? Plus fin que quoi ?

Ok, mais pourquoi les restrictions sur l'application des théorèmes sont-elles différentes en 2nde et en Term ? Je penche de plus en plus sur le résultat de simulations, et non pas sur une précision apportée par un résultat mathématique, au vu de cela :

http://math.univ-lille1.fr/~suquet/Polys/TLC.pdf

En Terminale, l'intervalle de fluctuation au seuil 95% est : [,] avec n30, np5 et n(1-p)5.

En 2nde, pour le même seuil, c'est ceci : [,] avec n 25 et 0,2p0,8.

Il semblerait que les conditions "justes" sont celles de Terminale (car son intervalle de fluctuation découle directement du théorème de Moivre-Laplace), celles de 2nde étant "ajustées".

En Term, np5 et n(1-p)5 apporte une précision supplémentaire par rapport à n30, dès que p5/n ou p1-5/n.
Avec le n 25 de la 2nde, il faut donc en plus : 5/25p1-5/25, soit 0,2p0,8. Ouf !

Maintenant, pourquoi passe-t-on de n 30 en Term à n 25 en 2nde ? Résultat d'un calcul, ou résultat de simulations ?

Il est vrai qu'en Term, on peut prendre des valeurs de p beaucoup plus près de 0 ou 1 qu'en 2nde, du moment que n est suffisamment grand. Mais on s'interdit en Terminale les valeurs de 25 à 29 autorisées en 2nde. Cela a -t-il vraiment une grande importance, étant donné que pour ces valeurs, pour un calcul direct on peut utiliser la loi binomiale (partout d'ailleurs, avec les calculatrices d'aujourd'hui d'après certains).

Etant donné que l'intervalle de Terminale est un peu plus précis que celui de 2nde, il est normal que la restriction qui va avec soit plus resserrée (30 au lieu de 25), (pour contrebalancer le 1,96/2 au maximum de Term, au lieu du 1 exactement de 2nde).

Je penche pour l'instant pour le résultat de simulations. Qu'en pensez-vous, d'où sort ce n30, np5 et n(1-p)5, simulation ou calcul mathématique ?

[Pseuda]

Bonsoir,

Ma conviction est faite : pour le n30, np5 et n(1-p)5 de l'intervalle de fluctuation de Terminale, il s'agit du résultat de simulations, pour la simple et bonne raison que c'est FAUX.

Cela est dit dans ce document : http://revue.sesamath.net/IMG/pdf/l_art ... en_pdf.pdf.

En effet , le théorème de Moivre-Laplace énonce que si Xn suit une loi binomiale B(n,p), alors la loi binomiale centrée réduite : converge en loi vers la loi normale centrée réduite.

Au seuil de 95%, pour des grandes valeurs de n, la probabilité d'appartenance de la fréquence de succès Xn/n à l'intervalle : [,] (issue de la loi normale) est supposée être peu différente (et au moins de 95%, dixit le programme de Terminale) de celle d'appartenance du nombre de succès de Xn à l'intervalle : [,] après avoir pris les valeurs entières adéquates correspondantes pour les bornes de l'intervalle (loi binomiale).

Or, ce n'est pas le cas (du fait des valeurs entières prises par la loi binomiale qui rétrécissent l'intervalle), cette probabilité est souvent inférieure à 95 % (même pour des très grandes valeurs de n ) :

[Pseuda]

Bonsoir,

En même temps :

http://www.les-mathematiques.net/phorum ... 12,1250393

Une (bonne) nouvelle dans ce lien : l'échantillonnage serait supprimé du programme du lycée à la prochaine réforme, au profit j'espère de choses plus intéressantes.

[Pseuda]

Bonsoir,

En résumé, donc ce que l'on enseigne en terminale, à savoir "l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% (sous-entendu calculé avec la loi normale) est un intervalle qui contient au moins 95% des fréquences observées dans les échantillons de taille n ; ceci signifie qu'il y a un risque de 5% pour cette fréquence de ne pas se trouver dans cet intervalle" est faux.

Ceci est faux, car il y a des cas où l'intervalle de fluctuation contient moins de 95% des fréquences observées. Par exemple, pour n=30 et p=0,45 (qui respecte les conditions d'application requises), si on répétait l'expérience un grand nombre de fois, on n'aurait que 93,5% des fréquences observées qui se trouveraient dans l'intervalle de fluctuation calculé avec la loi normale [0,27197 ; 0,62802], soit en nombre de succès [8,1 ; 18,9] = [9 ; 18] en réalité en valeurs entières requises pour la loi binomiale (la vraie loi).

Avec la loi binomiale B(30, 0,45), 95% au moins (environ 95,45%) des fréquences sont dans l'intervalle [ ; ] (intervalle nécessaire), et non pas dans l'intervalle [ ; ].

Mais là où je trouve cela hypocrite, c'est que l'on se rattrape en élargissant l'intervalle de fluctuation "dans le bon sens", soit en arrondissant les bornes de l'intervalle à 10^-3 ou 10^-4, par défaut pour la borne inférieure et par excès pour la borne supérieure, mais ce n'est pas toujours suffisant : des fois, il faudrait arrondir à 10^-1 (exemple précédent) pour retrouver un intervalle suffisant.

Bon je vais m'arrêter là car je pourrais en écrire des pages et des pages. Si c'est comme cela que les sondages sont faits, on comprend qu'ils soient très souvent faux ! Cela ne donne pas une belle image des mathématiques.

J'ai été enseignante en mathématiques il y a 15 ans, avec les programmes de l'époque. Après un passage par le privé, je viens de reprendre du service, et je tombe là-dessus ! Je n'arrive pas à comprendre.

[zygomatique]

salut

t'inquiète pas ... on ne demande plus de faire des math au lycée .... mais de faire semblant ....

voir ici entre autre ... : http://www.ilemaths.net/sujet-echantill ... 91195.html

et il est donc compréhensible que les élèves aient du mal ....

[Pseuda]

Bonjour,

voir ici entre autre ... : http://www.ilemaths.net/sujet-echantill ... 91195.html

Merci. Très instructif et amusant, où on voit que l'opinion sur l'échantillonnage est largement partagée. Ce n'est plus les maths au service du réel, c'est le réel au service des maths. Enfin cela est assez général.

t'inquiète pas ... on ne demande plus de faire des math au lycée .... mais de faire semblant ....

Cela, j'avais compris. On ne fait plus des maths, on applique des recettes de cuisine, plus ou moins bien comprises, plutôt moins que plus. Mais le but c'est pas de comprendre, c'est d'avoir le bac....

et il est donc compréhensible que les élèves aient du mal ....

Cela va avec. En introduisant l'échantillonnage au lycée pour développer l'esprit critique des élèves envers les statistiques et les sondages, si ce n'est pas compris par les élèves, (et comment cela pourrait l'être avec des intervalles sortis d'on ne sait où, avec des règles d'application aussi, et qui changent d'une année sur l'autre ?) c'est plutôt l'esprit critique envers l'échantillonnage qu'on a développé (au mieux, un oubli immédiat et total après le bac) , soit l'objectif inverse de celui recherché.

Une dernière remarque : on parle d'intervalle de fluctuation asymptotique, c'est-à-dire pour n assez grand, et on dit en même temps que ces intervalles peuvent être appliqués pour n30 etc....Bref, un peu contradictoire, il faudrait savoir. Ou mieux expliquer, être honnête, dire que ce n'est pas 95%, mais compris entre 94% et 95%....

[zygomatique]

je dirais que ce n'est pas temps le 95% ou un peu moins qui importe ni même le "asymptotique" quand on travaille avec n = 30 ou 50 ...

dans mes cours je dis toujours "à environ 95%" et je travaille essentiellement avec des exemples où n reste supérieure à la cinquantaine pour minimiser l'erreur .... (afin que les résultats aient un minimum de sens)

mais c'est plutôt de pb plus général de notre education/instruction : quel est l'objectif de faire étudier telle ou telle notion et quel "socle minimal" voulons-nous apporter à un jeune pour qu'il soit apte à se débrouiller tout seul par la suite ....

et bâtir sur du sable n'est pas la meilleure solution ... il y a mieux à faire lorsqu'on voit le taux d'illettrisme ou la faiblesse de calcul élémentaire (exemple flagrant : la notion même de proportionnalité, les phénomènes linéaires sont tellement mal maitrisés ...)

cependant la statistique inférentielle est un outil très puissant ... lorsqu'il est utilisé avec rigueur et que l'on sait de quoi l'on parle ... et très utilisé par l'industrie ...

ainsi savoir que c'est à peu près 95% n'est même plus important en soit ...

ce qui est important c'est de savoir construire un test pour répondre à une question ... encore faut-il se poser la bonne question et savoir si un test me permettra de prendre la bonne décision "au risque de t%" ... (ou presque t%)

une question bien posée, un test bien construit me permettra - à long terme - (par sa répétition) de prendre la bonne décision "dans t% des cas"

une fois n fixé et t fixé même si la valeur théorique réelle est t +-h c'est une certaine valeur qui reste fixe (tant que je ne change pas la taille des échantillons) et cette valeur réelle n'est pas importante en soit ....

mais le savoir est important ... ainsi lorsque "n est petit" un test du khi2 sera très/plus performant par exemple ...

le pb à nouveau c'est que les élèves sont tellement dans le brouillard, n'ont plus aucune notion de valeur exacte/approchée que tout est approximatif et sans sens .... au final on n'a perdu l'objectif initial : apprendre à travailler avec rigueur et précision ... même avec des approximations !!!!


pour finir et en revenir au "asymptotique" : il y a une théorie mathématique (non accessible au "pékin" de base (le lycéen) qui conduit à des résultats en terme de limite (le TCL entre autre)) et son "application pratique" qui nécessite d'avoir des "quantités à taille humaine" soit n de l'ordre de la centaine ....

certes on voit certaines variations sur le t% suivant certaines valeurs particulières de n et/ou p (je connaissais l'article de D Perrin depuis quelques temps et je voulais te proposer un autre article du même genre .. mais je n'arrive plus à remettre la main dessus ...) mais je pense que l'objectif dun tel cours c'est de retenir la philosophie générale associée à ces notions ... et là je pense qu'on est à côté de la plaque à nouveau .... et qu'on n'apprend pas aux jeunes à travailler avec rigueur et méthode ... ce qui est l'objectif premier de l'école ....indépendamment des divers savoirs acquis en cours de route ....

[Romy]

En tant qu'enseignante, pourquoi essaies-tu de noyer le poisson et ne dis-tu pas comment tu te fais assimiler ?

L'intervalle de fluctuation est de plus en plus fin de la seconde vers la terminale avec moins d'approximations.


Dans certains cas, la probabilité que la fréquence appartienne à l’intervalle est très proche de 0,95 mais tout en étant inférieure, c'est pourquoi on dit que ce sont des intervalles de fluctuation approchés.

L'intervalle asymptotique au seuil de 95% vu en terminale est contenu dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% introduit en seconde et on peut inclure un intervalle de fluctuation à un seuil quelconque à ce niveau.

[zygomatique]

En tant qu'enseignante, pourquoi essaies-tu de noyer le poisson et ne dis-tu pas comment tu te fais assimiler ?

que veux-tu dire par là ?

[Romy]

La pédagogie par étapes à mettre en place depuis la fin du collège jusqu'à la fin de lycée et à travers les classes...

[zygomatique]

je ne comprends toujours pas ce que tu veux dire ...

par contre depuis que les "sciences de l'éducation" ont pris le pouvoir ... on voit de moins en moins d'éducation ....

et l'activisme pédagogique n'est pas une instruction ....

[Pseuda]

En tant qu'enseignante, pourquoi essaies-tu de noyer le poisson et ne dis-tu pas comment tu te fais assimiler ?

L'intervalle de fluctuation est de plus en plus fin de la seconde vers la terminale avec moins d'approximations.


Dans certains cas, la probabilité que la fréquence appartienne à l’intervalle est très proche de 0,95 mais tout en étant inférieure, c'est pourquoi on dit que ce sont des intervalles de fluctuation approchés.

L'intervalle asymptotique au seuil de 95% vu en terminale est contenu dans l'intervalle de fluctuation au seuil de 95% introduit en seconde et on peut inclure un intervalle de fluctuation à un seuil quelconque à ce niveau.

Bonsoir,

Je ne comprends pas non plus le début de ton post. C'est la 1ère fois que j'ai à enseigner l'échantillonnage (ce n'était pas au programme du lycée, ni du supérieur non plus il y a quelques années).

L'intervalle qui comporte le moins d'approximations est celui de 1ère : il est basé sur la loi binomiale, il n'y a aucune approximation (hormis le fait qu'on fait un tirage avec remise, alors qu'un échantillon c'est un tirage sans remise, passons).

L'intervalle de 2nde est moins précis que celui de terminale, il augmente la probabilité pour la fréquence d'appartenir à l'intervalle de fluctuation (au seuil 95%, pour une proportion 0,2, on obtient 98% de probabilité en moyenne au lieu de 95%, pour une proportion 0,5, on est très rapidement au-dessus de 95%), mais bon, au moins on est au-dessus de 95%.

L'intervalle de terminale est très ajusté. Il ne comporte pas la correction de continuité (pour être plus près de la loi binomiale). C'est vrai qu'on peut le calculer à un seuil quelconque, et qu'il permet aussi de déterminer la loi normale à partir de 2 observations sur les probabilités.

[Pseuda]

je dirais que ce n'est pas temps le 95% ou un peu moins qui importe ni même le "asymptotique" quand on travaille avec n = 30 ou 50 ...

dans mes cours je dis toujours "à environ 95%" et je travaille essentiellement avec des exemples où n reste supérieure à la cinquantaine pour minimiser l'erreur .... (afin que les résultats aient un minimum de sens)

mais c'est plutôt de pb plus général de notre education/instruction : quel est l'objectif de faire étudier telle ou telle notion et quel "socle minimal" voulons-nous apporter à un jeune pour qu'il soit apte à se débrouiller tout seul par la suite ....

et bâtir sur du sable n'est pas la meilleure solution ... il y a mieux à faire lorsqu'on voit le taux d'illettrisme ou la faiblesse de calcul élémentaire (exemple flagrant : la notion même de proportionnalité, les phénomènes linéaires sont tellement mal maitrisés ...)

Quand on parle de 95% au moins, à mon sens, il ne faut pas être en-dessous. On peut être entre 94% et 96%, mais alors il faut le dire. Le but des mathématiques, c'est, entre autres, de ne pas faire d'erreurs, et ne pas en rajouter à l'ambiguïté ambiante. Ce sont les mathématiques qui doivent montrer la rigueur, la précision. On peut donner une valeur approchée, mais il faut dire quelle est l'erreur maximum commise (majorer l'erreur). On a aussi 10% qui est "environ 95%".

D'autant plus qu'ensuite, ce sont les mêmes intervalles qui sont utilisées pour la confiance. Confiance, cela veut bien dire : "je veux une confiance à 95%, je n'en veux pas à 94% ou à 93,5%". Il n'y a pas eu des tests pharmacologiques qui ont mal tourné récemment ?

Je ne te contredirais pas pour dire que les élèves sont dans un brouillard opaque, surtout en algèbre. Ils ne connaissent pas leur tables de multiplication, sont fermés au calcul algébrique, ne distinguent pas l'addition de la multiplication des fractions, ne comprennent pas la proportionnalité, sont fâchés avec le calcul numérique, enfin heureusement, pas tous.

La question est : pourquoi a-t-on introduit l'échantillonnage au lycée, au détriment de la géométrie notamment ? J'ai l'impression que ceci est pour beaucoup dans le fait que les étudiants de prépa scientifiques ne comprennent rien (au démarrage) aux espaces vectoriels et aux applications linéaires (ils n'ont pas vu les similitudes, rotations, etc...). Et les rotations peuplent notre quotidien, plus que l'échantillonnage, il suffit d'ouvrir une porte, ou de lever le bras. Enfin, je n'enfoncerais pas des portes ouvertes pour dire que l'éducation se porte mal, alors que paradoxalement, la pression sur les études augmente....

[zygomatique]

c'est pourquoi je ne dis pas " à au moins 95%" mais "à environ 95%" ... et puis j'explique un peu en partant de l'intervalle de seconde à celui de terminale en précisant que seul celui de première [a/n, b/n] vu la définition de a et b vérifie le "au moins" ...

et les élèves (ou étudiants car j'ai des bts) écoutent, posent parfois une question ... mais comme ils ne s'en posent déjà pas beaucoup elles sont rares .... puis ils oublient vu qu'ils n'ont plus de mémoire non plus ...

si tu voyais certaines copies de bts tu pleurerais ... mais déjà même sur la médiocrité du français ...

et sans langage ont ne peut s'approprier de nouveaux savoirs ...

[Pseuda]

Bonjour,

C'est ce que je dis souvent. Les maths sont basées sur le français, c'est-à-dire le langage. Sans langage, impossible de faire des raisonnements.

Pour le "au moins 95%", concernant la prise de décision à la suite du prélèvement d'un échantillon, on parle du risque de se tromper d'"au plus 5%" : cela est bien la même chose ?

D'autre part, je ne comprends pas vraiment comment, dans mon tableau au-dessus, certaines probabilités (données par la loi binomiale, d'appartenance à l'intervalle de fluctuation obtenu à l'aide de la loi normale) peuvent être supérieures à 95% (par exemple 96,75% pour n=29 et p=0,2), très exactement à 95,000421...% (probabilité d'appartenance à l'intervalle de fluctuation donnée par la loi normale avec -/+1,96), étant donné qu'on a tronqué l'intervalle de fluctuation en le resserrant pour calculer les probabilités sur des valeurs entières à l'aide de la loi binomiale, que les 2 courbes (fonctions de densité) sont très proches, et qu'on n'a pas appliqué la correction de continuité.

En appliquant la correction de continuité sur l'intervalle de fluctuation de terminale, on obtient l'intervalle : [,], et là, on est toujours au-dessus de 95%.

Concernant l'intervalle de fluctuation et l'intervalle de confiance, il faudrait aussi vérifier qu'ils sont bien inclus dans [0,1], sinon la probabilité peut être tronquée. Cela est passé sous silence dans les programmes du lycée.

Or, il se trouve que pour les intervalles de fluctuation, cela est bien vérifié en 2nde avec les conditions de la 2nde : n25 et 0,2p0,8 (c'est peut-être de là d'ailleurs que viennent ces conditions), et qu'en terminale aussi avec les conditions de la terminale : n30, np5 et n(1-p)5.

Pour l'intervalle de confiance [,], son inclusion dans l'intervalle [0,1] n'est pas vérifié avec les conditions de la terminale : n30, nf5 et n(1-f)5 (par exemple, n=100 et f=5%). Mais pour les valeurs extrêmes n=30 et f = 1/6, la probabilité est bien supérieure à 95%, c'est déjà ça. Ouf !

[zygomatique]

1/ ne pas oublier que "la correction de continuité" n'est qu'un "truc" pour améliorer les résultats : on pourrait très bien travailler avec des trapèzes au lieu de rectangles .....

2/ il est évident que si p/f est très proche de 0 ou de 1 alors on peut très bien obtenir un intervalle de fluctuation/confiance [x, y] qui "sorte" de l'intervalle [0, 1] .... avec la loi normale ... (et même si les conditions sont convenables ...)
évidemment on prendra la borne convenable 0 (si x < 0) ou 1 (si y > 1) puisqu'une fréquence appartient à l'intervalle [0, 1]

....